Enunciado

Sob intenso desenvolvimento está o armazenamento de energia em discos que giram em alta velocidade onde o atrito é efetivamente eliminado pelo encapsulamento do rotor em um compartimento sob vácuo e utilizando mancais magnéticos. Para um rotor de 10   k g com um raio de giração de 90   m m , girando inicialmente a 80   000   r p m , calcule a potência P que pode ser retirada do rotor pela aplicação de um torque constante de desaceleração de 2,10   N ∙ m (a) no instante em que o torque é aplicado e (b) no instante de tempo em que o torque tiver sido aplicado por 120 segundos.

Passo 1

Para retirar energia do rotor, vamos utilizar a sua energia cinética para produzir algum tipo de trabalho.

Nesse caso, a potência gerada pelo rotor será igual a taxa com que ele perde energia cinética:

P = d d t 1 2 I ω 2

Aplicando a regra da cadeia, ficamos com a seguinte expressão:

P = 1 2 I 2 ω d ω d t = I ω ω ˙

Que dá a potência em função do tempo:

P t = I ω ˙ ω t

Passo 2

Vamos começar calculando o momento de inércia I :

I = m k - 2 = 10 0,090 2 = 0,081   k g ∙ m 2

E a desaceleração angular α = ω ˙ gerada pelo torque M :

M = I ω ˙

ω ˙ = M I = 2,10 0,081 = 25,92   r a d / s 2

E podemos optar por deixar esse sinal positivo sem problemas, apesar de representar uma desaceleração.

Passo 3

(a) No instante t = 0 em que o torque é aplicado, a velocidade angular do rotor ainda é de 80   000   r p m , ou seja:

ω = 80   000 2 π 60 = 8,38.10 3   r a d / s

Portanto a potência nesse instante é:

P t = I ω ˙ ω ( t )

P 0 = 0,081 25,92 8,38.10 3 = 17,59   k W

Passo 4

(b) No instante t = 120   s , a velociade angular já será diferente, mas podemos calcular o seu valor já que conhecemos a desaceleração angular constante:

ω = ω 0 - ω ˙ t

ω = 8,38.10 3 - 25,92 120 = 5,27.10 3   r a d / s

Então a potência é:

P t = I ω ˙ ω ( t )

P 120 = 0,081 25,92 5,2 7.10 3 = 11,06   k W

Resposta

(a) P = 17,59   k W .

(b) P = 11,06   k W .

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