Enunciado

O disco circular de massa m e momento de inércia I , em relação a seu eixo central, está soldado ao eixo de aço, que, por sua vez, está soldado ao bloco fixo. O disco recebe um deslocamento angular θ 0 e em seguida é liberado, provocando uma vibração torcional do disco com θ variando entre + θ 0 e - θ 0 . O eixo resiste à torção com um momento M = J G θ / L , onde J é o momento polar de inércia da seção transversal do eixo em relação ao eixo de rotação, G é o módulo de elasticidade transversal do material do eixo (relação entre tensão e deformação de cisalhamento), θ é o ângulo de torção em radianos, e L é o comprimento do eixo sob torção. Desenvolva a expressão para a frequência natural f n da vibração torcional.

Passo 1

Esse problema é mais mais simples do que parece: o enunciado já deu a expressão para o momento resultante em relação ao eixo!

∑ M O = I θ ¨

- J G L θ = I θ ¨

Só precisamos adicionar o sinal negativo, notando que o momento favorece o retorno do ângulo θ ao ponto de equilíbrio.

O enunciado também deu o momento de inércia I , então nem sequer precisamos encontrar uma expressão para ele. Vamos apenas reorganizar essa equação:

I θ ¨ + J G L θ = 0

θ ¨ + J G I L θ = 0

Passo 2

Nessa última equação, o termo que multiplica o θ é o quadrado da frequência angular natural do oscilador:

ω n 2 = J G I L

ω n = J G I L

E a frequência f n pode ser calculada diretamente a partir disso:

f n = ω n 2 π

Então:

f n = 1 2 π J G I L

Resposta

A frequência natural é f n = 1 2 π J G I L .

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