Enunciado

Uma sonda espacial está descrevendo uma órbita circular de raio nR com uma velocidade escalar v0 ao redor de um planeta de raio R e centro O. Quando ela passa pelo ponto A, sua velocidade escalar é reduzida de v0 para β v 0 onde β < 1 , para ser inserida em uma trajetória de impacto. Expresse em termos de n e β o ângulo AOB, onde B representa o ponto de impacto da sonda sobre o planeta.

Passo 1

Essa questão pede que a gente expresse em termos de n e β o ângulo AOB, onde B representa o ponto de impacto da sonda sobre o planeta. Consideraremos os seguintes dados

Para órbita circular,

r 0 = r A = n R

v 0 = G M r 0 = G M n R

A tragetória de colisão é eliptica.

v A = β v 0 β 2 G M n R

h = r A v A = n R v A = β 2 n G M R

G M h ² = 1 β 2 n R

1 r = G M h 2 ( 1 + ε   c o s θ ) = 1 + ε   c o s θ β 2 n R

Passo 2

Ao ponto A, θ = 18 0 o

1 r A = 1 n R = 1 - ε   β 2 n R   o u   β 2 = 1 - ε   o u   ε = 1 - β 2

Ao ponto de impacto B, θ = π - ∅

1 r B = 1 R

1 R = 1 + ε   c o s ⁡ ( π - ∅ )   β 2 n R = 1 + ε   c o s ⁡ ∅   β 2 n R

ε cos ⁡ ∅ = 1 - n β 2   o u cos ⁡ ∅ = 1 - n β 2 ε = 1 - n β 2   1 - β 2

∅ = cos - 1 [ ( ⁡ 1 - n β 2 ) / ( 1 - β 2 ) ]  

Resposta

∅ = cos - 1 [ ( ⁡ 1 - n β 2 ) / ( 1 - β 2 ) ]  

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