Enunciado

Uma partícula de 2 kg desloca-se ao longo de uma trajetória definida por

r = 3 + 2 t 2   m ,     θ = 1 3 t 3 + 2   r a d

E z = ( 5 - 2 t 2 ) m, onde t é dado em segundos. Determine as componentes da força r , θ , z que a trajetória exerce sobre a partícula no instante t = 1 s.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa da partícula: m = 2 kg

Coordenadas polares.

Sabemos que a trajetória do movimento é descrita por:

r = 3 + 2 t 2   m

θ = 1 3 t 3 + 2   r a d

z = 5 - 2 t 2   m

Desenhando o diagrama de corpo livre, temos

Onde W = m g é a força peso e g = 9,81   m / s 2 .

A partir desses dados, devemos determinar as componentes da força F r , F θ e F z sobre a partícula quando t = 1 s.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais de r ( r ˙ e r ¨ ):

r ˙ = d r d t = 4 t   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = 4   m / s 2

As derivadas temporais de θ ( θ ˙ e θ ¨ ):

θ ˙ = d θ d t = t 2   r a d / s

θ ¨ = d 2 θ d t 2 = 2 t   r a d / s 2

As derivadas temporais de z ( z ˙ e z ¨ ):

z ˙ = d z d t = - 4 t   r a d / s

z ¨ = d 2 z d t 2 = - 4   r a d / s 2

Passo 3

Substituindo t = 1 s nas equações encontradas, temos que

r = 3 + 2 t 2 = 5 m

r ˙ = 4   m / s

r ¨ = 4   m / s 2

θ = 1 3 t 3 + 2 = 7 3 r a d

θ ˙ = 1   r a d / s

θ ¨ = 2   r a d / s 2

z = 5 - 2 t 2 = 3   m

z ˙ = - 4   r a d / s

z ¨ = - 4   r a d / s 2

Passo 4

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r , θ e z são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

a z = z ¨

Logo, em t = 1

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 4 - 5 2 2 = - 16   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 5 2 + 2 4 1 = 18   m / s 2

a z = z ¨ = - 4   m / s 2

Os valores de a r e a z negativos nos dizem que estas acelerações atuam no sentido oposto ao desenhado no diagrama de corpo livre.

Passo 5

Agora aplicaremos as Equações do Movimento para resolver o problema.

Analisando primeiramente no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

F r = 2 - 16 = - 32   N

Analisando no eixo θ , temos

∑ F θ = m a θ

F θ = 2 18 = 36   N

Analisando no eixo z , temos

∑ F z = m a z

F z = 2 - 4 = - 8   N

Os valores de F r e F z negativos nos dizem que estas componentes da força atuam no sentido oposto ao desenhado no diagrama de corpo livre.

Resposta

F r = - 32   N

F θ = 36   N

F z = - 8   N

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