Enunciado

Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalente e especifique sua posição na viga, medindo a partir de A .

Passo 1

Existem duas formas de calcular a força resultante equivalente. A primeira é por integral, mas isso não é necessário já que são carregamentos triangulares e trapezoidais.

Então vamos prosseguir da seguinte maneira. Primeiro vamos dividir o carregamento trapezoidal em dois carregamentos, um uniforme (que tem o desenho de um retângulo) e outro triangular que ficará. Ambos vão atuar na mesma seção da barra. Então a gente vai ter isso aqui olha só:

Então nós vamos ter os dois carregamentos triangulares (amarelos) mais o carregamento uniforme (preto).

Passo 2

Então a gente vai precisar calcular a força equivalente de cada um e somar todas. Vamos começar pelo carregamento uniforme que é mais simples. A força equivalente será igual ao carregamento vezes a distância:

F u n i f o r m e = w × d

A distância é d = 3   m e o valor do carregamento é igual a 4   k N / m , por que 4? Porque o valor mais baixo do carregamento trapezoidal =D

Teremos, portanto:

F u n i f o r m e = w × d

F 1 = 4 × 3 = 12   k N

Além disso o ponto onde essa força atua é exatamente no meio do carregamento, logo irá aturar em:

x 1 = 3 + 3 2 = 4,5   m

obs: Tivemos de somar 3 porque queremos a posição na viga como um todo.

Passo 3

Agora vamos calcular o carregamento triangular da esquerda. Para carregamentos triangulares a gente pode fazer uma média entre o menor e maior valor e multiplicar essa média pelo comprimento do carregamento (isso vale porque é uma variação linear)

F t r i a n g u l a r = w 0 + w f 2 × d

Para o nosso caso:

F 2 = 0 + 8 2 × 3

F 2 = 12   k N

Para todo carregamento a força irá atuar no baricentro da figura. Como temos um carregamento triangular o baricentro do triângulo é localizado a 2/3 da ponta do trinângulo (ou 2/3 da base) conforme o desenho:

Dessa forma o ponto onde a força será aplicada será:

x 2 = 3 × 2 3 = 2   m

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa do passo anterior mas para o carregamento triangular da direita:

F t r i a n g u l a r = w 0 + w f 2 × d

Mas aqui é muito importante notar que, como dividimos o carregamento trapezoidal, agora w 0 = 4   k N / m e w f = 0 ao invés de 8 e 4, beleza? Então vamos ter

F 3 = 4 + 0 2 × 3

F 3 = 6   k N

E aqui a força irá atuar em:

x 3 = 3 + 3 × 1 3 = 4   m

Passo 5

Agora vamos juntar tudo que vimos

Para o carregamento uniforme:

F 1 = 12   k N

x 1 = 4,5   m

Para o triangular da esquerda:

F 2 = 12   k N

x 2 = 2   m

Para o triangular da direita:

F 3 = 6   k N

x 3 = 4   m

Então a força resultante terá o valor de:

F R = F 1 + F 2 + F 3

F R = 12 + 12 + 6 = 30   k N

Passo 6

E para achar sua posição vamos calcular o momento que cada força faz com relação a um ponto qualquer (vamos escolher o ponto A) e depois ver qual distância a força resultante deverá atuar para possuir o mesmo momento, da seguinte forma:

∑ M a = F 1 × x 1 + F 2 × x 2 + F 3 × x 3

12 × 4,5 + 12 × 2 + 6 × 4 = 102   k N . m

Esse valor deve ser igual ao momento gerado pela força resultante:

102 = F R × d

102 = 30 × d

d = 102 30 = 3,4   m

Resposta

F R = 30   k N

d = 3,4   m

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