Enunciado

Substitua o sistema de forças e binários por uma força e momento equivalentes ao sistema, atuantes no ponto O .

Passo 1

Vamos começar calculando a força resultante que age sobre o sistema. Para isso precisamos escrever cada uma das forças do desenho em forma vetorial:

F → 1 = 6 - cos ⁡ 30 °   i ^ - sen ⁡ 30 °   j ^ = - 5,196   i ^ - 3,000   j ^   k N

F → 2 = - 2,000   k N   j ^

F → 3 = 5 cos ⁡ 45 °   i ^ - sen ⁡ 45 ° = 3,536   i ^ - 3,536   j ^   k N

F → 4 = 6 cos ⁡ 30 °   i ^ + sen ⁡ 30 °   j ^ = 5,196 + 3,000   k N

Agora vamos somar tudo isso vetorialmente para encontrar a força resultante. As forças F → 1 e F → 4 vão se cancelar logo de início, então ficamos com:

F → = F → 2 + F → 3

F → = 3,536   i ^ - 5,536   j ^   k N

Passo 2

Podemos definir essa força a patir de um módulo e um ângulo:

F = 3,536 2 + 5,536 2 = 6,57 k N

E se θ é o ângulo que a nossa força resultante forma com o semi-eixo positivo (no sentido horário, já que sua componente em y é negativa), então:

θ = arctan ⁡ 5,536 3,536 = 57,4 °

Passo 3

Agora vamos calcular o momento de cada uma das forças em relação ao ponto O . Nossa conta vai ser bastante facilitada uma vez que já escrevemos as componentes de cada vetor:

F → 1 = - 5,196   i ^ - 3,000   j ^   k N F → 2 = - 2,000   j ^   k N F → 3 = 3,536   i ^ - 3,536   j ^   k N F → 4 = 5,196 + 3,000   k N

Em cada caso, precisamos multiplicar as componentes do vetor pela sua distância perpendicular até o ponto O . As forças que favorecem rotação no sentido anti-horário tem sinal positivo, e vice-versa:

M 1 = 5,196 3 sen ⁡ 60 ° + 3,000 3 cos ⁡ 60 ° = 18,0   k N ∙ m

M 2 = 2,000 4,5 = 9,00   k N ∙ m

M 3 = - 3,536 2 + ( 3,536 ) ( 0 ) = - 7,07   k N ∙ m

M 4 = 0

Então o momento resultante é:

M = M 1 + M 2 + M 3 + M 4

M = 18,0 + 9,00 - 7,07 = 19,9   k N ∙ m

Resposta

O sistema pode ser substituído por uma força F = 6,57   k N aplicada em O , formando um ângulo de 57,4 ° com o semieixo horizontal negativo, e por um binário M = 19,9   k N ∙ m .

Ver Outros Exercícios desse livro