Enunciado

Substitua o sistema de forças e momentos binário que agem sobre o bloco retangular por um torsor. Especifique a intensidade da força e o momento de binário do torsor e a posição onde sua linha de ação intercepta o plano x - y .

Passo 1

Falaa! O que a gente quer fazer ao achar um torsor para substituir esse sistema de forças é substituir essas forças por uma força resultante e um momento que tem o vetor na mesma direção da força, e aí podemos dizer que essa força e o momento são colineares.

Desejamos encontrar o módulo da força resultante e o momento binário do torsor além da posição onde sua linha de ação intercepta o plano x - y .

Para encontrar as forças, a gente precisa apenas calcular o somatório das forças aplicadas. Isso é mais tranquilo de fazer usando forças na forma vetorial. Primeiramente podemos escrever as forças F 1 ,   F 2   e   F 3 na forma de vetor cartesiano como sendo:

F 1 → = 3000 j   N

F 2 → = 1500 k N

F 3 → = - 2250 i   N

Percebe que a como as forças estão paralelas aos eixos coordenados, nós apenas colocamos a componente em cada força indicando a que eixo ela é paralela.

Tipo, a força F 1 é paralela ao eixo y e está no seu sentido positivo, aí a gente só coloca o vetor unitário j , para mostrar a direção dela. Já F 4 está no sentido negativo de x , a gente coloca um sinal de menos e o vetor unitário i .

A nossa força resultante vai ser a soma desses vetores

F r → = F 1 → + F 2 → + F 3 → + F 4 → = - 2250 i + 3000 j + 1500 k   N

F r → = - 2250 i + 3000 j + 1500 k   N

Logo a magnitude desse vetor será

F r = - 2250 2 + 3000 2 + 1500 2 ≈ 4038   N

Repara que aquele valor de 900   N . m é um momento aplicado. Aqui nas forças a gente não usa esse momento na análise. Vamos seguir!

Passo 2

Digamos que há um ponto P sobre o plano x y , por onde passa a linha de ação do vetor do torsor M w → . De coordenadas

P = x , y , 0

E sabendo que M w é colinear a F r , nós podemos pensar que os dois vetores têm a mesma direção. Podemos achar uma expressão para o vetor de M W a partir do vetor unitário na direção de F r →   assim:

M w → = M w F r → F r →

Percebe que aí estamos multiplicando o módulo do momento pelo vetor unitário na direção de F → r . Substituindo os dados

M w → = M w - 2250 i + 3000 j + 1500 k - 2250 2 + 3000 2 + 1500 2

M w → = - 0,5571 ⋅ M w i + 0,7428 ⋅ M w j + 0,3714 ⋅ M w k

Passo 3

Lembra que a gente disse que a linha de ação de M w passa por P . Isso é o mesmo que dizer que M w é um momento em relação a P .

E lembra quem é o nosso torsor? Ele deve ser a resultante dos momentos em relação a esse eixo que é colinear a F r .

Então, o que precisamos fazer é achar o somatório de momentos em torno desse eixo que passa por P . E como a gente pode fazer isso? Calculando o somatório de momentos em relação a P !

Como a gente já definiu a direção de M w → , ao calcular o somatório de momentos em relação ao ponto P , a gente garante que o resultado que vamos achar M w é o momento resultante no eixo que contem M w → .

Os momentos são causados pelas forças F 1 , F 2 e F 3 . O resultante vai ser a soma desses momentos.

Vamos usar

M → = r → × F →

Se a gente chamar de a o ponto onde F 1 está aplicada, de b o ponto de F 2 e c o ponto de F 3 , para essas forças, o vetor r → vai ser o ponto de aplicação da força menos o ponto P .

Nossas coordenadas são

P = x , y , 0  

a = 0 ,   1.2 ,   0,6

b = 0.9 ,   1.2 ,   0

c = 0.9 ,   1.2 ,   0.6

Os vetores r p a → ,   r p b → e r p c → são

r p a → = 0 - x i + 1,2 - y j + 0,6 - 0 k = - x i + 1,2 - y j + 0,6 k

r p b → = 0,9 - x i + 1,2 - y j + 0 - 0 k = 0,9 - x i + 1,2 - y j

r p c → = 0,9 - x i + 1,2 - y j + 0,6 - 0 k = 0,9 - x i + 1,2 - y j + 0,6 k

Passo 4

Agora a gente lembra que o M → w é o somatório de momentos em relação a P e igual esse vetor a resultante de momentos que vamos calcular:

M w = ∑ M p

Somando os momentos de F 1 , F 2   e   F 3 sobre o ponto P e incluindo M = 900 N ⋅ m (não esquecendo de colocar a direção dele), vamos ter

M w = ∑ M p

M w → = r p a → × F 1 → + r p c → × F 2 → + r p b → × F 3 → + M →

Substituindo tudo o que achamos e já passando os produtos vetoriais para a carinha de determinante:

- 0,5571 ⋅ m w i + 0,7428 ⋅ m w j + 0,3714 ⋅ m w k =

= i j k - x ( 1,2 - y ) 0,6 0 3000 0 + i j k ( 0,9 - x ) ( 1,2 - y ) 0,6 - 2250 0 0 + i j k ( 0,9 - x ) ( 1,2 - y ) 0 0 0 1500 + 900 i

Isso vai resultar em

- 0,5571 ⋅ m w i + 0,7428 ⋅ m w j + 0,3714 ⋅ m w k =

= 900 - 1 5 00 y i + 1500 x - 2700 j + 2700 - 3000 x - 2250 y k

Passo 5

Fazendo a igualdade dos índices chegamos ao seguinte sistema

- 0,5571 ⋅ m w = 900 - 1 5 00 y   i 0,7428 ⋅ m w = 1500 x - 2700   i i 0,3714 ⋅ m w = 2700 - 3000 x - 2250 y       i i i

Resolvendo o sistema formado pelas equações acima vamos encontrar valores aproximados para x ,   y   e   M w   dados pro

x = 1,055 m ,     y = 0,0414 m ,     M w = - 1504 , 1 N ⋅ m

Pronto, finalmente está resolvido nosso exercício.

Resposta

F r → = 4038   N ,     x = 1,055 m ,     y = 0,0414 m ,     M w = - 1504 , 1 N ⋅ m

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