Enunciado

Um suporte, em forma de paralelogramo, proposto para uma luminária ajustável é mostrado. Se o comprimento não esticado da mola é b / 2 , determine a rigidez k da mola necessária para haver equilíbrio em dado ângulo θ com a vertical. A massa da luminária e da peça triangular é m . Verifique a estabilidade dentro da faixa de trabalho de θ = 2 sen - 1 ⁡ ( 1 / 4 ) ≈ 29 ° até θ = 180 ° .

Passo 1

Se representarmos a energia potencial V do sistema em função do ângulo θ , como não há outras forças ativas (que realizam trabalho) além do peso e da força elástica da mola, a condição para o equilíbrio é dada por:

d V d θ = 0

E a condição adicional para o equilíbrio estável é:

d 2 V d θ 2 > 0

A energia potencial do sistema varia com a altura do centro de massa do pêndulo e do alongamento da mola. Vamos então encontrar a relação de V com θ , e depois aplicar as derivadas.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a energia potencial V 1 devida à mola em função de θ . Vamos definir que V 1 = 0 quando a mola não está alongada nem comprimida. Então calculamos o comprimento da mola:

sen ⁡ θ 2 = x 2 b

⇒ x = 2 b sen ⁡ θ 2

Se o comprimento normal da mola é x 0 = b / 2 , então a deformação é dada por:

Δ x = 2 b sen ⁡ θ 2 - b 2

Tendo valor positivo quando a mola está alongada e negativo quando está comprimida. O potencial elástico da mola é então:

V 1 θ = 1 2 k Δ x 2 = k 2 2 b sen ⁡ θ 2 - b 2 2 = k 2 4 b 2 sen 2 ⁡ θ 2 - 2 b 2 sen ⁡ θ 2 + b 2 4

V 1 θ = k b 2 2 sen 2 ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 + 1 8

Passo 3

Agora calculamos a energia potencial gravitacional V 2 ( θ ) da luminária e da peça triangular. Vamos definir V 2 = 0 para θ = 90 ° , quando os braços que seguram as peças são horizontais. A variação da altura do centro de massa da luminária e da peça em relação a essa posição pode ser então dada por:

h = l sen ⁡ θ

Então a energia potencial gravitacional é:

V 2 θ = m g h = m g l cos ⁡ θ

Passo 4

A energia potencial total do sistema é então dada por:

V θ = V 1 θ + V 2 θ = k b 2 2 sen 2 ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 + 1 8 + m g l cos ⁡ θ

Derivamos a expressão em relação a θ :

d V d θ = k b 2 4 sen ⁡ θ 2 1 2 cos ⁡ θ 2 - 1 2 cos ⁡ θ 2 - m g l sen ⁡ θ

= k b 2 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 - 1 2 cos ⁡ θ 2 - m g l sen ⁡ θ

Como sen ⁡ θ = 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 :

d V d θ = k b 2 2 2 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 2 - m g l sen ⁡ θ

A condição de equilíbrio diz que a derivada deve ser zero, então achamos k :

k b 2 2 2 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 2 - m g l sen ⁡ θ = 0

⇒ k = 2 m g l sen ⁡ θ b 2 2 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 2

Para simplidicar, dividimos em cima e em baixo por sen ⁡ θ :

k = 2 m g l b 2 2 - cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ = 2 m g l b 2 2 - cos ⁡ θ 2 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 = 2 m g l b 2 2 - 1 2 sen ⁡ θ 2 = 4 m g l sen ⁡ θ 2 b 2 4 sen ⁡ θ 2 - 1

Passo 5

A condição de estabilidade é que a segunda derivada seja positiva. Derivando novamente d V d θ :

d 2 V d θ 2 = k b 2 2 2 cos ⁡ θ + 1 2 sen ⁡ θ 2 - m g l cos ⁡ θ

= k b 2 cos ⁡ θ - m g l cos ⁡ θ + k b 2 4 sen ⁡ θ 2

A partir da expressão de k , podemos obter um valor para sen ⁡ θ 2 :

k = 2 m g l b 2 2 - 1 2 sen ⁡ θ 2 ⇒ 2 - 1 2 sen ⁡ θ 2 = 2 m g l k b 2

⇒ 1 2 sen ⁡ θ 2 = 2 - 2 m g l k b 2 ⇒ 2 sen ⁡ θ 2 = 1 2 - 2 m g l k b 2

⇒ sen ⁡ θ 2 = 1 4 - 4 m g l k b 2 = k b 2 4 ( k b 2 - m g l )

Substituindo então na expressão da segunda derivada:

d 2 V d θ 2 = k b 2 cos ⁡ θ - m g l cos ⁡ θ + k b 2 4 sen ⁡ θ 2

= k b 2 - m g l cos ⁡ θ + k b 2 4 k b 2 4 ( k b 2 - m g l )

= k b 2 - m g l cos ⁡ θ + k 2 b 4 16 ( k b 2 - m g l )

O valor de k para θ = 180 ° é:

k = 2 m g l b 2 2 - 1 2 sen ⁡ 90 ° = 2 m g l b 2 2 - 1 2 = 2 m g l 3 2 b 2 = 4 m g l 3 b 2

Então o valor vai aumentando com a diminuição de θ até 29 ° , onde o valor de k é:

k = 2 m g l b 2 2 - 1 2 sen ⁡ 29 ° 2 = 2 m g l b 2 2 - 1 2 ⋅ 1 4 = 2 m g l b 2 2 - 2 = ∞

A segunda derivada então é infinita para θ = 29 ° , e vai diminuindo até θ = 180 ° , onde o seu valor é:

k b 2 - m g l cos ⁡ 180 ° + k 2 b 4 16 ( k b 2 - m g l ) = m g l - k b 2 + k 2 b 4 16 ( k b 2 - m g l )

Agora substituindo o valor de k para 180 ° :

d 2 V d θ 2 = m g l - 4 m g l 3 b 2 b 2 + 4 m g l 3 b 2 2 b 4 16 4 m g l 3 b 2 b 2 - m g l

= m g l - 4 3 m g l + 16 9 m 2 g 2 l 2 16 4 3 m g l - m g l = - 1 3 m g l + 16 9 m 2 g 2 l 2 16 3 m g l = - 1 3 m g l + 1 3 m g l = 0

Então a segunda derivada é muito grande para θ = 29 ° e depois se aproxima de 0 quando θ = 180 ° , se mantendo positiva. Logo, o teremos equilíbrio estável.

Resposta

k = 4 m g l sen ⁡ θ 2 b 2 4 sen ⁡ θ 2 - 1   ( e s t á v e l   p a r a   29 ° < θ < 180 ° )

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