Enunciado

A análise do vento atuando em uma pequena igreja do Havaí, que suportou os ventos de 280 km/h do furacão Iniki em 1992, mostrou que as forças transmitidas para cada um dos painéis de treliça do telhado foram como indicado. Trate a estrutura como uma treliça simples simétrica e despreze qualquer componente horizontal da reação do apoio em A . Identifique o elemento da treliça que suporta a maior força, em tração ou compressão, e calcule esta força.

Passo 1

Vamos calcular as equações de equilíbrio para as forças externas e as equações para cada nó da treliça. Primeiro, precisamos analisar os ângulos de inclinação das barras. Na figura vemos os ângulos que devemos conhecer.

Podemos encontrar o tamanho do lado A D - por Pitágoras:

A D - = 6 2 + 4,5 2 = 7,5

Então:

sen ⁡ θ = 6 7,5 = 0,8

cos ⁡ θ = 4,5 7,5 = 0,6

Além disso, observamos facilmente que γ = 90 - θ . Temos também pela soma dos ângulos internos do triangulo:

β = 90 - 2 γ = 90 - 2 90 - θ = 2 θ - 90 = 2 arcsen ⁡ 0,8 - 90 ° = 16,26 °

E finalmente:

α + β = θ ⇒ α = arcsen ⁡ 0,8 - 16,26 ° = 36,9 °

Passo 2

Agora vamos às equações de equilíbrio da treliça como um todo. O tamanho do lado C D - é calculado da seguinte maneira:

C D - = 6 - 4,5 tg ⁡ α sen ⁡ θ = 2,1

∑ F x = 0 ⇒ - 9,8 + 28 + 18,2 cos ⁡ 36,9 ° - 24 + B x = 0 ⇒ B x = 68,8   k N

∑ F y = 0 ⇒ - 9,8 + 28 + 18,2 sen ⁡ 36,9 ° + A y + B y ⇒ A y + B y = 33,6

∑ M B = 0 ⇒ 9,8 7,5 + 28 7,5 - 2,1 - A y 9 = 0 ⇒ 9 A y = 224,7 ⇒ A y = 24,97   k N

⇒ B y = 8,63   k N

Passo 3

Agora iremos calcular as equações de equilíbrio para os nós. Teremos T indicando que a força é de tração e C que é de compressão. Nas equações colocaremos sempre a direção da força de um elemento como se fosse de tração, e se o valor for negativo ela será na verdade de compressão.

Nó A:

∑ F x = 0 ⇒ A E cos ⁡ θ + A F cos ⁡ 36,9 ° = 0 ⇒ 0,6 A E + 0,8 A F = 0 ⇒ A F = - 0,75 A E

∑ F y = 0 ⇒ A E sen ⁡ θ + A F sen ⁡ 36,9 ° + A y = 0 ⇒ 0,8 A E + 0,6 A F + 24,97 = 0

⇒ 0,8 A E + 0,6 - 0,75 A E = - 24,97 ⇒ A E = - 71,34   k N   ( C )

⇒ A F = 53,5   k N   ( T )

A D pode ser considerada como uma única barra retilínea, então devemos ter obrigatoriamente para o equilíbrio:

E D = A E = - 71,34   k N   ( C )

E F = 0

Passo 4

Nó D:

∑ F x = 0 ⇒ - 9,8 cos ⁡ 36,9 ° - E D cos ⁡ θ + C D cos ⁡ θ = 0

⇒ 7,84 - 42,8 = 0,6 C D ⇒ C D = - 59,27   k N   ( C )

∑ F y = 0 ⇒ - 9,8 sen ⁡ 36,9 ° - E D sen ⁡ θ - D F - C D sen ⁡ θ

⇒ D F = - 5,88 + 57,07 + 47,42 ⇒ D F = 98,61   k N   ( T )

Passo 5

Nó F:

Podemos ver facilmente olhando para C que C F = - 28   k N   ( C )

∑ F x = 0 ⇒ - A F cos ⁡ 36,9 ° + C F cos ⁡ 36,9 ° + B F cos ⁡ 36,9 ° + D F = 0

⇒ B F = A F - C F - D F cos ⁡ 36,9 ° = 53,5 + 28 - 123,31 ⇒ B F = - 48,86   k N   ( C )

Então a maior força é em D F :

D F = 98,61   k N   ( T )

Resposta

F M A X = D F = 98,61   k N   ( T )

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