Enunciado

47. A tampa A B C D de uma caixa de engrenagem de 0,61   m × 1,0   m , é articulada ao longo do lado A B e mantida aberta com uma corda   D E C lançada sem atrito a um gancho em E . Sabendo-se que a tração na corda é 66   N , determine o momento em relação a cada um dos eixos de coordenadas da força exercida pelo corda em D .

Passo 1

Bom! Para fazer o nosso cálculo, nos precisamos da distância D E ; não é mesmo? Mas repara que aquele ponto D não está exatamente posicionado numa linha horizontal e paralela ao eixo z . Ele está um pouco inclinado pra cima. Ou seja, o que se quis dizer com todo essa lenga-lenga é que precisamos calcular a coordenada em z do ponto D . A figura abaixo demonstra isso:

Só que pra nossa sorte, precisamos apenas usar Pitágoras para calcular nossa coodernada z :

z 2 + ( 0,11   m ) 2 = ( 0,61   m ) 2

z = ( 0,61   m ) 2 - ( 0,11   m ) 2

z = 0,6   m

E para calcular a distância D E basta calcular a raiz quadrada abaixo:

D E = ( z E - z D ) 2 + ( y E - y D ) 2 + ( x E - x D ) 2

Onde para o ponto E temos que:

  x E = 0,3   m                   y E = 0,71   m             z E = 0 ,   00   m              

E para o ponto D temos:

  x D = 0   m                         y D = 0,11   m               z D = 0 ,   60   m            

Obtidas as nossas coordenadas; façamos o cálculo:

D E = ( z E - z D ) 2 + ( y E - y D ) 2 + ( x E - x D ) 2

D E = ( 0,00   m - 0,60   m ) 2 + ( 0,71   m - 0,11   m ) 2 + ( 0,30   m - 0,00   m ) 2

D E = 0,81   m 2

D E = 0,9   m

Passo 2

Obtida a nossa distância D E vamos obter o quanto vale a força de tração T → D E em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ . Para fazer isso basta multiplicar a força pela distância D E vetorial e dividir tudo pelo módulo de D E , que já encontramos no P a s s o   1 :

D E → = ( x E - x D ) i ^ + y E - y D j ^ + ( z E - z D )   k ^

D E → = 0,30   m i ^ + 0,60   m j ^ - ( 0,60   m )   k ^

E como temos que D E = 0,9   m ; basta fazer o seguinte cálculo agora:

T → D E = T D E ⋅ D E → D E

T → D E = ( 66   N ) ⋅ 0,30   m i ^ + 0,60   m j ^ - ( 0,60   m )   k ^ 0,90   m

T → D E = 22   N i ^ + 44   N j ^ - ( 44   N )   k ^

Passo 3

A questão nos pede para determinar o momento M → A em relação a cada um dos eixos de coordenadas da força exercida pelo corda em D . Ora bolas; já temos a nossa força de tração T → D E !!! O que precisamos mais??

Bom! Só falta agora, o vetor posição que parte da origem A até a linha de ação da força em D . Essa belezinha é o vetor A D → ; que podemos calcular apenas determinando as coordenadas do ponto D ; já que A é o ponto origem do nosso referencial. Bora por a mão na massa:

A D → = ( x D ) i ^ + y D j ^ + ( z D )   k ^

A D → = ( 0,00   m ) i ^ + 0,11   m j ^ + ( 0,60   m )   k ^

Como temos tudo que precisamos; só nos resta aplicar a definição de momento:

M → A = r → D / A × T → D E

Onde temos que:

r → D / A = A D → = ( 0,00   m ) i ^ + 0,11   m j ^ + ( 0,60   m )   k ^

T → D E = 22   N i ^ + 44   N j ^ - ( 44   N )   k ^

Vamos então, fazer o produto vetorial acima usando o determinante matricial:

M → A = det ⁡ i ^ j ^ k ^ x D y D z D T D E , x T D E , y T D E , z

M → A = det ⁡ i ^ j ^ k ^ 0 0,11 0,60 22 44 - 44

M → A = ⁡ i ^ j ^ k ^ 0 0,11 0,60 22 44 - 44       i ^ j ^ 0 0,11 22 44  

M → A = ⁡ i ^ j ^ k ^ 0 0,11 0,60 22 44 - 44       i ^ j ^ 0 0,11 22 44  

M → A = - 4,84 i ^ + 13,2 j ^ - 2,42 k ^ - 26,4 i ^   N ⋅ m

M → A = - 31,24 i ^ + 13,2 j ^ - 2,42 k ^   N ⋅ m

Esse é o nosso momento resultante!!! Para obter os momentos em cada eixo; basta associar cada componente de momento com seu versor ao respectivo eixo coordenado; ( i ^ ) para o eixo x ; ( j ^ ) para o eixo y e ( k ^ ) para o eixo z :

M x = - 31,24   N ⋅ m

M y = 13,2   N ⋅ m

M z = - 2,42   N ⋅ m

Resposta

M x = - 31,24   N ⋅ m

M y = 13,2   N ⋅ m

M z = - 2,42   N ⋅ m

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