Enunciado

O topo mostrado é apoiado no Ponto fixo 0. Denotando por ϕ , θ   e   ψ os ângulos Eulerianos que definem a posição do topo em relação a um referencial fixo, considere o movimento geral do topo no qual todos os ângulos Eulerianos variam.

(a) Observando que Σ M Z = 0  e  Σ M z = 0 , e denotando por l e l’, respectivamente, os momentos de inércia do topo em torno de seu eixo de simetria e em torno de um eixo transversal em 0, derivar os dois primeiros ordenar equações diferenciais de movimento

I ' ϕ ˙ s i n 2 ⁡ θ + I ( ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ ) c o s ⁡ θ = α I ( ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ ) = β

onde α  e  β são constantes dependendo das condições iniciais. Essas equações expressam que o momento angular do topo é conservado em torno dos eixos Z e z, ou seja, que o componente retangular de H 0 ao longo de cada um desses eixos é constante(b) Use as Eqs. (1) e (2) para mostrar que a componente retangular ω z , da velocidade angular do topo é constante e que a taxa de precessão ϕ depende do valor do ângulo de nutação θ

Passo 1

Use um quadro de referência rotativo com o eixo apontando para o papel.

Velocidade angular do quadro:

Ω = - ϕ ˙ s i n ⁡ θ i + θ ˙ j + ϕ ˙ c o s ⁡ θ k

Velocidade angular no topo

ω = - ϕ ˙ s i n ⁡ θ i + θ ˙ j + ( ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ ) k

Seu momento angular sobre O

H O = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k = - I ' ϕ s i n ⁡ θ i + I ' θ ˙ j + I ( ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ ) k

Em que

I x = I y = I '  e  I 2 = I

O momento M O sobre O é devido ao peso m g .

M 0 = m g c s i n ⁡ θ j

Passo 2

(a) Uma vez que o eixo Z fixo se refere a um referencial newtoniano e M O Z = 0 , segue-se que H O z é constante. Por isso,

H O γ = H Q ⋅ K = H O ⋅ ( - i s i n ⁡ θ + k c o s ⁡ θ ) = I ' ϕ ˙ s i n 2 ⁡ θ + I ( ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ ) c o s ⁡ θ = α (1)

Em que α é constante

M o = H ˙ O = H ˙ o O y z + Ω × H o

m g c s i n ⁡ θ j = - I ' d d t ( ϕ ˙ s i n ⁡ θ ) i + I ' θ ¨ j + I d d t ( ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ ) k

+ I ( ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ ) θ ˙ - I ' ϕ ˙ θ ˙ c o s ⁡ θ i + I ( ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ ) ϕ ˙ s i n ⁡ θ - l ' ϕ ˙ 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ j

Componentes z 0 = d d t ( ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ )

Integrando I ψ ˙ + ϕ ˙ cos ⁡ θ = β         ( 2 )

Em que β é uma constante

Passo 3

(b) uma vez que ω z = ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ

ω z = β I =  constant e (3)

Da eq(1) e (2) I ' ϕ s i n 2 ⁡ θ + β c o s ⁡ θ = α

ϕ ˙ = α - β c o s ⁡ θ I ' s i n 2 ⁡ θ (4)

Que é a função de θ

Resposta

a   = I ' ϕ s i n 2 ⁡ θ + I ( ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ ) c o s ⁡ θ = α

I ( ψ ˙ + ϕ ˙ c o s ⁡ θ ) = β

(b) ω z = β I =  constant e

ϕ ˙ = α - β c o s ⁡ θ I ' s i n 2 ⁡ θ

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