Enunciado

Um torque de intensidade T = 120   N ⋅ m é aplicado ao eixo A B do trem de engrenagens mostrado. Sabendo-se que a tensão admissível de cisalhamento é de 75   M P a , nos três eixos maciços, determinar o diâmetro necessário para o: (a) eixo A B ; (b) eixo C D ; (c) eixo E F .

Passo 1

Aqui temos um trem de engrenagens onde o troque é transmitido desde o eixo A B até o eixo E F , como cada eixo está acoplado a engrenagens de diferentes raios teremos torques diferentes, seguindo a seguinte lógica.

Nas engrenagens a força entre elas é a mesma, logo o torque será diferente, lembrando que:

T = F ⋅ d

No caso das engrenages a distância d será equivalente ao raio. Como temos que as forças será iguais, podemos mudar essa equação para se tornar um pouco mais prática:

F = T d

Ou

F = T R

Como as forças são iguais, vamos ter que

F 1 = F 2

T 1 R ! = T 2 R 2

Com isso vamos ter a relação entre os torques atuantes em cada barra. Assim, basta substituir na equação do torque:

τ = T ⋅ c J

Onde:

  • τ Representa a tensão de cisalhamento.
  • T A torção a qual a barra está submetida.
  • c A distância do centro ao ponto de aplicação.
  • J O momento de inércia polar.

Lembrando que o momento de inércia polar é calculado como:

J = π ⋅ c 4 2

Passo 2

Vamos utilizar a seguinte equação demonstrada no passo 1, para saber a relação entre os torques T A B , T C D e T E F

T 1 R ! = T 2 R 2

Logo vamos ter

T A B 25 = T C D 60

T A B = 25 ⋅ T C D 60

T A B = 25 60 ⋅ T C D

T A B = 0,416 ⋅ T C D

Como o torque de A B é igual a 12 0   N ⋅ m

12 0 = 0,416 ⋅ T C D

T C D = 12 0 0,416

T C D = 288   N ⋅ m

E

T C D 30 = T E F 75

T C D = 30 75 ⋅ T E F

T C D = 0,4 ⋅ T E F

Como o torque de C D é 240,38   N ⋅ m

288 = 0,4 ⋅ T E F

T E F = 28 8 0,4

T E F = 720   N ⋅ m  

Passo 3

Agora vamos olhar para a equação do torque.

τ = T ⋅ c J

Como queremos o diâmetro dos eixos, vamos fazer o seguinte, isolar o termo c que é o raio de cada eixo e resolver a equação. Lembrando que o momento de inércia polar J é calculado como.

J = π ⋅ c 4 2

Assim

τ = T ⋅ c π ⋅ c 4 2

τ = 2 ⋅ T ⋅ c π ⋅ c 4

τ = 2 ⋅ T π ⋅ c 3

Isolando o c

c ³ = 2 ⋅ T π ⋅ τ

Passo 4

Agora vamos resolver para o eixo A B

c ³ = 2 ⋅ T A B π ⋅ τ

c ³ = 2 ⋅ 120 π ⋅ 75 × 10 6

c 3 = 2 ⋅ 120 π ⋅ 75 × 10 - 6

c 3 = 1,02 × 10 - 6

c = 1,02 × 10 - 6 3

c = 1,02 3 ⋅ 10 - 6 3

c = 1,00 ⋅ 10 - 2   m

c = 10 , 0 ⋅ 10 - 3   m

c = 10,0   m m

Diâmetro

d i â m e t r o = 2 ⋅ c

d i â m e t r o = 2 ⋅ 10

d i â m e t r o = 2 0   m m

Passo 5

Agora vamos resolver para o eixo C D

c ³ = 2 ⋅ T C D π ⋅ τ

c ³ = 2 ⋅ 288 π ⋅ 75 × 10 6

c 3 = 2 ⋅ 288 π ⋅ 75 × 10 - 6

c 3 = 2,44 × 10 - 6

c = 2,44 × 10 - 6 3

c = 2,44 3 ⋅ 10 - 6 3

c = 1,35 ⋅ 10 - 2   m

c = 13,5 ⋅ 10 - 3   m

c = 13,5   m m

Diâmetro

d i â m e t r o = 2 ⋅ c

d i â m e t r o = 2 ⋅ 13,5

d i â m e t r o = 2 7   m m

Passo 6

Agora vamos resolver para o eixo E F

c ³ = 2 ⋅ T E F π ⋅ τ

c ³ = 2 ⋅ 720 π ⋅ 75 × 10 6

c 3 = 2 ⋅ 720 π ⋅ 75 × 10 - 6

c 3 = 6,11 × 10 - 6

c = 6,11 × 10 - 6 3

c = 6,11 3 ⋅ 10 - 6 3

c = 1,83 ⋅ 10 - 2   m

c = 18,3 ⋅ 10 - 3   m

c = 18,3   m m

Diâmetro

d i â m e t r o = 2 ⋅ c

d i â m e t r o = 2 ⋅ 18,3

d i â m e t r o = 36,6   m m

Resposta

a) Para AB

d i â m e t r o = 20   m m

b) Para CD

d i â m e t r o = 27   m m

c) Para EF

d i â m e t r o = 36,6   m m

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