Enunciado

Um trecho da pista de uma montanha-russa consiste de dois arcos de círculo A B e C D unidos por um trecho reto B C . O raio de A B é 27 m e o raio de C D é 72 m. O carrinho e seus ocupantes, de massa total de 280 kg, alcançam o ponto A praticamente sem velocidade e então caem livremente ao longo da pista. Determine os valores máximo e mínimo da força normal exercida pela pista sobre o carro durante o percurso de A até D . Ignore as resistências do ar e de rolamento.

Passo 1

Vamos lá a mais uma questão! Esta questão é a continuação da questão 41. Temos que obter as forças normais máximas e mínimas para a mesma geometria do problema anterior.

O interessante é que esta questão pode ser resolvida bem fácil se nós soubermos os pontos que temos que calcular as forças normais. Agora, se a gente não souber, vamos ter que calcular para todos os trechos!!!

Então, vamos utilizar os nossos conhecimentos para entender o que está se passando por aqui!

Passo 2

Vamos analisar inicialmente a trajetória circular no trecho A B . O nosso diagrama de corpo livre foi:

Como existe uma força centrípeta, nós obtivemos que:

∑ F n = m a n

N = m g sen ⁡ 50 ° - m v 2 l

Portanto, quanto maior a velocidade, menor a força normal. Logo, a força normal aqui será mínima em B , sendo N = 826   N .

Passo 3

Agora vamos para o trecho B C . Aqui é uma trajetória retilínea. Logo, não há aceleração centrípeta na direção normal da curva. Fazendo o diagrama de corpo livre, temos:

Então, fazendo o somatório de forças na direção normal, temos:

∑ F n = m a n

N = m g sen ⁡ 50 °

Logo, a força normal neste trecho é maior do que no trecho A B .

Passo 4

Agora, vamos analisar no trecho C D . Novamente, fazendo o diagrama de corpo livre, temos:

Lembrando, como aqui temos um trecho circular, teremos a presença de uma aceleração centrípeta (assim como foi no Passo 2). Então, fazendo o somatório de forças na direção normal, teremos:

∑ F n = m a n

N - W cos ⁡ θ = m v 2 l 1

N = m g cos ⁡ θ + m v 2 l 1

Então, a força será máxima quando cos ⁡ θ for máximo θ = 0 ° . Logo, será máxima no ponto D . E consequentemente, será mínima em C . Agora, precisaremos calcular elas para saber se serão a maior e menor em todo o trecho.

Passo 5

Vamos começar analisando no ponto C . De cara podemos esperar que a força normal aqui será ainda maior do que a força normal em B . Isto deve ocorrer pois a força normal está na direção normal a curva (haverá força centrípeta).

Portanto, como o carrinho possui maior velocidade, então, a força normal deverá ser elevada (fica a dica para a força normal máxima!!!). Desta forma, concluímos aqui que esta força será maior do que no ponto B .

Agora podemos partir para o cálculo do ponto D . Precisaremos então da velocidade do carrinho neste ponto. Calculando o trabalho da força peso e as energias cinéticas associadas, temos:

T 1 = 0

T 2 = m v 2 2

U 1 → 2 = - m g Δ h = 2 m g l

Portanto, pelo princípio de trabalho e energia, temos:

T 1 + U 1 → 2 = T 2

0 + 2 m g l = m v 2 2

v 2 = 4 g l

v 2 = 2 4 ⋅ 9,81 ⋅ 27

v = 32,55   m / s

E assim chegamos à força normal de:

N = m g cos ⁡ θ + m v 2 l 1

N = 280 ⋅ 9,81 ⋅ cos ⁡ 0 ° + 280 ⋅ 32,55 2 72

N = 6867   N

Passo 6

Para finalizarmos a questão, basta verificarmos qual foi a maior e qual a menor força normal obtida. Assim, chegamos aos seguintes valores:

N m í n = 826   N

N m á x = 6867   N

Resposta

N m í n = 826   N

N m á x = 6867   N

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