Enunciado

Expresse a aceleração da gravidade g h a uma altitude h acima da superfície da Terra em termos da aceleração da gravidade g 0 na superfície da Terra, da altitude h e do raio R da Terra. Determine o erro percentual se o peso que um objeto possui sobre a superfície da Terra for usado como o seu peso a uma altitude de (a) 1 km e (b) 1000 km.

Passo 1

Vamos começar esta questão determinando a relação da aceleração da gravidade g h a uma altitude h acima da terra. Como estamos trabalhando com forças gravitacionais, é fundamental relembrarmos a equação desta força! Ela é:

F = G M 1 M 2 r 2

Onde G é uma constante, M 1 e M 2 a massa entre os dois corpos e r a distância entre o centro dos dois corpos.

Portanto, se tivermos um corpo de massa M 2 = m na superfície da terra h = 0 , então, a distância entre os dois corpos é exatamente o raio R da Terra e a força será:

F = G M t e r r a m R 2 = m g 0

A força gravitacional é exatamente a força peso! Isolando a gravidade g 0 , temos:

G M t e r r a R 2 = g 0

Passo 2

Agora, nosso trabalho consiste em basicamente repetir o que fizemos no passo 1, só que para uma altura h acima da Terra.

A grande diferença aqui será no r da nossa força gravitacional. Ele não será apenas o raio da terra, mas sim r = R + h . Com isto, teremos uma aceleração da gravidade g h . Então, se substituirmos na relação da força gravitacional, assim como fizemos anteriormente, temos:

F = G M t e r r a m R + h 2 = m g h

O trabalho agora é reorganizar a equação acima para aparecer o termo g 0 = G M t e r r a R 2 . Para isto, temos:

G M t e r r a m R 1 + h R 2 = m g h

g h = G M t e r r a R 2 1 + h R 2

g h = G M t e r r a R 2 ⋅ 1 1 + h R 2

g h = g 0 1 + h R 2

E assim chegamos a primeira relação que a questão pede!

Passo 3

Agora, precisamos determinar o erro percentual do peso em relação a duas alturas. Mas, como calculamos este erro?

Este é o grande questionamento aqui. Mas fiquem tranquilos que não é nada difícil. Ele será:

E r r o = W 0 - W h W 0 ⋅ 100 %

Agora, é só substituirmos as relações de cada um dos pesos. Logo,

E r r o = m g 0 - m g h m g 0 ⋅ 100 %

E r r o = g 0 - g 0 1 + h R 2 g 0 ⋅ 100 %

E r r o = 1 - 1 1 + h R 2 ⋅ 100 %

Passo 4

E para finalizarmos a questão, basta substituirmos o valor de h dados no enunciado, isto é, h = 1   k m para a letra a) e h = 1000   k m para a letra b). Sendo assim, lembrando que o raio da Terra é R = 6370   k m , temos:

E r r o 1   k m = 1 - 1 1 + 1 6370 2 ⋅ 100 % = 0,0314 %

E r r o 1 000   k m = 1 - 1 1 + 1 000 6370 2 ⋅ 100 % = 25,3 %

E assim finalizamos a questão!

Resposta

g h = g 0 1 + h R 2

E r r o 1   k m = 1 - 1 1 + 1 6370 2 ⋅ 100 % = 0,0314 %

E r r o 1000   k m = 1 - 1 1 + 1000 6370 2 ⋅ 100 % = 25,3 %

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