Enunciado

Para a treliça e carregamento indicado no Prob. 10.29, determinar a deflexão vertical do ponto C .

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo show de bola? Então vamos exercitar nosso conhecimento sobre energia de deformação!

Nessa questão, vemos as treliças C D e B C suportando uma força P . Essa força P faz as treliças B C e C D se deformarem. Por isso, a treliça B C absorve a energia de deformação U B C e a treliça C D absorve a energia de deformação U C D . O enunciado quer saber, quanto a deflexão y C do ponto C a partir da energia de deformação total U que é a soma das energias U B C e U C D .

U = U B C + U C D

y C pode ser calculado a partir de U através da equação abaixo.

U = P y C 2       ⟹       y C = 2 U P

Podemos ver na figura abaixo que, como a treliça B C é forçada com a carga P , ela reage com uma força F B C . O mesmo ocorre com a treliça C D . Ela sofre a ação da força P e reage com uma força F C D . É MUITO importante notar que as forças de reação das treliças F C D e F B C estão SEMPRE na mesma direção das treliças!

Para descobrir quanto vale F B C e F C D precisamos aplicar duas equações de equilíbrio de forças no ponto C . Vamos aplicar a equação do equilíbrio no eixo x e no eixo y .

U C D e U B C são calculadas usando a equação 10.14 do livro. Essa equação é válida para barras com áreas da seção transversal A constantes, como é o nosso caso!

U C D = F C D 2 L C D 2 A C D E           |           U B C = F B C 2 L B C 2 A B C E

E é o módulo de elasticidade das treliças. O módulo de elasticidade das duas treliças são iguais, porque o enunciado diz que elas são feitas do mesmo material. A B C e A C D são as áreas das seções transversais das treliças. Essas duas áreas são iguais a A como mostra a Fig. 10.29.

Mesmo com essas informações em mão, ainda precisamos calcular o seno e cosseno de um ângulo presente no problema para poder usar as equações de equilíbrio.

Passo 2

Nesse passo, nós vamos calcular o seno e o cosseno do ângulo α presente no problema.

Veja a figura abaixo para entender que ângulo é esse.

Antes de tudo, precisamos calcular os comprimentos L C D e L B C através do teorema de Pitágoras!

L C D 2 = l 2 + l 2 2       ⟹       L C D 2 = 4 l 2 4 + l 2 4       ⟹     L C D = 5 2 l

L B C 2 = l 2 + l 2 2       ⟹       L B C 2 = 4 l 2 4 + l 2 4       ⟹     L B C = 5 2 l

Para calcular o seno do ângulo α , temos dividir o lado l 2 oposto ao ângulo pela hipotenusa L B C .

sen ⁡ α = l 2 5 2 l       ⟹       sen ⁡ α = 5 5

Para calcular o cosseno do ângulo α , temos dividir o lado l adjacente ao ângulo pela hipotenusa L B C .

cos ⁡ α = l 5 2 l       ⟹       cos ⁡ α = 2 5 5

Passo 3

Vamos começar o cálculo das forças fazendo o equilíbrio de forças na vertical ∑ F y = 0 . Isso é apenas uma escolha. Tanto faz por qual equilíbrio começamos. Poderíamos começar com o equilíbrio das forças na horizontal.

Para fazer o equilíbrio vertical, vamos ver quanto vale a projeção de F C D e de F B C em y .

Através da figura acima vemos que existem três forças em y : a projeção de F C D , a projeção de F B C e a força P . Como a força P e a projeção de F B C estão pra baixo, colocaremos um sinal de menos na frente delas na equação de equilíbrio em y . Como a projeção de F C D está para cima, deixamos um sinal de mais na frente dela!

∑ F y = 0

- P - F B C × sen ⁡ α + F C D × sen ⁡ α = 0

- P - F B C × 5 5 + F C D × 5 5 = 0

F C D = 5 P + F B C

Passo 4

Nesse passo, vamos fazer o equilíbrio de forças na horizontal ∑ F x = 0 para calcular as forças F B C e F C D .

Através da figura acima vemos que existem apenas duas forças em x : a projeção da força F C D e a projeção da força F B C . P não tem projeção no eixo x . Como a projeção da força F B C e a projeção da força F C D estão pra direita, colocaremos um sinal de mais na frente delas na equação de equilíbrio em x .

∑ F x = 0

+ F B C × cos ⁡ α + F C D × cos ⁡ α = 0

+ F B C × 2 5 5 + F C D × 2 5 5 = 0

F B C = - F C D

Substituindo o valor de F B C na equação de F C D que encontramos antes, achamos:

F C D = 5 P + F B C       ⟹       F C D = 5 P - F C D       ⟹       F C D = 5 2 P

Substituindo F C D , na equação que achamos com o equilíbrio de forças em x :

F B C = - F C D       ⟹       F B C = - 5 2 P

Agora temos as duas forças que precisamos para calcular U B C , U C D e U .

No próximo passo faremos essa conta.

Passo 5

Nesse passo calcularemos U B C , U C D , U e y C !

Vamos começar calculando U B C .

U B C = F B C 2 L B C 2 A B C E

Lembrando que o comprimento L B C da treliça B C vale 5 2 l , que a área da seção transversal A B C dessa treliça vale A e que F B C vale - 5 2 P achamos:

U B C = - 5 2 P 2 5 2 l 2 A E       ⟹       U B C = 5 5 16 P 2 l A E

Já achamos uma energia. Agora vamos partir para o cálculo de U C D . Para isso, devemos lembrar que o comprimento L C D da treliça C D vale 5 2 l , que a área da seção transversal A C D dessa treliça vale A e que F C D vale 5 2 P .

U C D = F C D 2 L C D 2 A C D E       ⟹       U C D = 5 2 P 2 5 2 l 2 A E       ⟹       U C D = 5 5 16 P 2 l A E

Somando essas duas energias, somos capazes de encontrar U .

U = U B C + U C D       ⟹       U = 5 5 16 P 2 l A E + 5 5 16 P 2 l A E       ⟹       U = 5 5 8 P 2 l A E       ⟹       U = 1,40 P 2 l A E

Substituindo U na fórmula de y C , achamos:

y C = 2 U P         ⟹         y C = 2 1,40 P 2 l A E P         ⟹         y C = 2,80   P l A E

Boaaaa! Conseguimos achar o valor de y C ! Ponto pra gente!

Resposta

y C = 2,80   P l A E

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Resolver o Prob. 10.32, considerando que a carga de 30k N é removida.
Usando E = 200G P a , determinar a energia de deformação devido à flexão, para a viga com o carregamento mostrado (desprezar o efeito das tensões de cisalhamento).
Usando E = 200G P a , determinar a energia de deformação devido à flexão, para a viga com o carregamento mostrado (desprezar o efeito das tensões de cisalhamento).
Usando E = 200G P a , determinar a energia de deformação devido à flexão, para a viga com o carregamento mostrado (desprezar o efeito das tensões de cisalhamento).
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