Enunciado

Usando E = 200   G P a , determinar a energia de deformação devido à flexão, para a viga com o carregamento mostrado (desprezar o efeito das tensões de cisalhamento).

Passo 1

Oieeer, galera! Pronto para mais uma questão de energia de deformação?

Nesse exercício precisamos calcular a energia de deformação U da barra A B . Nesse exercício vamos calcular apenas a energia de deformação da barra que é causada pelo momento fletor M presente na barra. A equação que calcula essa energia U da barra causada pelo momento fletor M é:

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

onde L é o comprimento total da barra A B , E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia.

Para calcular o momento fletor M , temos que achar as forças que atuam na barra. A figura abaixo mostra as forças atuando na barra A B .

R A é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de forças em y . No próximo passo, calcularemos essas duas forças!

Passo 2

Para achar R A e R B através do equilíbrio de forças em y , precisamos notar que essa barra é simétrica! Isso significa que a força de reação da ponta esquerda da barra R A e a força de reação da ponta direita da barra R B são iguais!

R A = R B

Como a força P da barra está para baixo, ela ganha um sinal de menos na equação de equilíbrio em y .

Além disso, precisamos lembrar que a força P de 35   k N vale 35000   N .

∑ y F = 0

R A + R B - P = 0       ⟹       R A + R A - 35000 = 0       ⟹       2 R A = 35000       ⟹       R A = 17500   N

Como R B é igual a R A :

R B = R A       ⟹       R B = 17500   N

Agora estamos aptos a achar M !

Passo 3

Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra A B . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui a força P e outro quando a parte esquerda inclui a força P . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

∑ x M = 0

- M R A + M = 0       ⟹       - R A x + M = 0       ⟹       - 17500 x + M = 0       ⟹       M = 17500 x

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

De novo precisamos observar que, como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

∑ x M = 0

M P - M R A + M = 0

P x - L 2 - R A x + M = 0

35000 x - 2 - 17500 x + M = 0

M = - 17500 x - 4

Com esses valores de M , podemos achar U !

Passo 4

M tem dois valores. Um quando x vale entre 0 e L 2 e outro, quando x vale entre L 2 e L .

S e   0 ≤ x < L 2       ⟹       M = 17500 x

S e   L 2 < x ≤ L       ⟹       M = - 17500 x - 4

Por isso, para substituir M na integral que calcula U , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de 0 a L 2 para o primeiro valor de M e outra que vai de L 2 a L para o segundo valor de M .

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x       ⟹       U = ∫ 0 L 2 M 2 2 E I d x + ∫ L 2 L M 2 2 E I d x

Agora, temos que substituir os valores de M , E e I nas integrais corretas.

Antes disso, temos que converter o módulo de elasticidade E de G P a para P a , multiplicando por 10 9 .

E = 200   G P a       ⟹       E = 200 × 10 9   P a

O momento de inércia I do perfil da barra pode ser encontrado no apêndice C para o perfil W310 X 23,8. Na tabela do apêndice C, o valor de I está em m m 4 . Para converter esse valor para m 4 , precisamos multiplicar por 10 - 12 .

I = 42,9 × 10 6   m m 4       ⟹       I = 42,9 × 10 - 6   m 4

Pronto, enfim podemos usar a integral para calcular U .

U = ∫ 0 2 17500 x 2 2 × 200 × 10 9 × 42,9 × 10 - 6 d x + ∫ 2 4 - 17500 x - 4 2 2 × 200 × 10 9 × 42,9 × 10 - 6 d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U = 17,85 ∫ 0 2 x 2   d x + 17,85 ∫ 2 4 x - 4 2   d x

U = 17,85 x 3 3 0 2 + 17,85 x - 4 3 3 2 4

U = 17,85 × 2 3 3 - 17,85 × 2 - 4 3 3

U = 95 , 2   J

Resposta

U = 95 , 2   J

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