Enunciado

Usando o método do trabalho e energia, resolver o Prob. 3.34.

Passo 1

Oi, pessoal! Como vão? Partiu fazer uma questão de cálculo de ângulo de rotação da torção através do método de energia pra arrasar na prova?

Essa questão mostra um eixo A B sendo torcido com um torque T . Esse torque faz os eixos D E e A B absorverem uma energia total U e se deformarem. O enunciado pede que a gente ache o ângulo de rotação θ A da extremidade A do eixo, usando duas equações para calcular a energia U absorvida pelos eixos D E e A B . A primeira, calcula U a partir do torque T .

U = T θ A 2       ⟹       θ A = 2 U T

A segunda equação, calcula U somando a energia U D E absorvida pelo eixo D E com a energia U A B absorvida pelo eixo A B .

U = U A B + U D E

Para calcular U A B e U D E usamos a equação 10.22 do livro que calcula a energia absorvida por um eixo em torção.

U A B = T 2 L A B 2 G J A B       |       U D E = T 2 2 L D E 2 G J D E

G é o módulo de elasticidade transversal do material das barras que vale 77   G P a . L A B e L D E são os comprimentos das barras A B e D E respectivamente.

Para fazer esses cálculos, supomos que as duas barras estão girando tão devagar que estão em equilíbrio! A figura abaixo mostra os dados que temos para achar θ A .

D A B e D D E são os diâmetros das barras A B e D E respectivamente. R 1 e R 2 são os raios da engrenagem da barra D E e A B respectivamente.

Agora que temos todas essas fórmulas, vamos começar a fazer as contas, calculando o valor do torque T 2 !

Passo 2

Para achar o torque T 2 temos que lembrar da terceira lei de Newton chamada de ação e reação. Levando essa lei em conta, vemos que a engrenagem da barra D E empurra a engranagem da barra A B com uma força F A B e a engrenagem da barra A B reage empurrando a engrenagem da barra D E com uma força F D E igual e oposta!

Como os torques T são iguais às forças F divididas pelos raios R , concluímos que:

F A B = F D E       ⟹       T R 2 = T 2 R 1       ⟹       T 2 = T R 1 R 2       ⟹       T 2 = 340 × 95 65     ⟹     T 2 = 496 , 92   N × m

Agora só falta achar os momentos de inércia polares J A B e J D E para a gente calcular U A B e U D E .

Passo 3

Antes de achar as energias de deformação U A B e U D E de cada barra, temos que encontrar os valores dos momentos de inércia polares J A B e J D E de cada barra .

Achamos J A B e J D E , através das fórmulas de momentos de inércia polares para áreas circulares abaixo. Antes, devemos converter os diâmetros de m m pra m , multiplicando eles por 10 - 3 .

J A B = π × D A B 4 32       ⟹       J A B = π × 30 × 10 - 3 4 32       ⟹       J A B = 7,9522 × 10 - 8   m 4

J D E = π × D D E 4 32       ⟹       J D E = π × 40 × 10 - 3 4 32       ⟹       J D E = 7,9522 × 10 - 8   m 4

Com esses valores podemos partir para nosso passo final!

Passo 4

Substituímos J A B e J C D nas equações de U A B e U C D para achar as energias de deformação. No entanto, antes disso converter o G de G P a para P a , multiplicando G por 10 9 .

U A B = T 2 L A B 2 G J A B       ⟹       U A B = 340 2 × 0,9 2 × 77 × 10 9 × 7,9522 × 10 - 8       ⟹       U A B = 8,50   J

U D E = T 2 2 L D E 2 G J D E       ⟹       U D E = 496 , 92 2 × 0,5 2 × 77 × 10 9 × 7,9522 × 10 - 8       ⟹       U D E = 10 , 08   J

Somando U A B com U D E , achamos U .

U = U A B + U D E       ⟹       U = 8,50 + 10 , 08       ⟹       U = 18,58   J

Substituindo esse valor na fórmula de θ A , achamos:

θ A = 2 U T       ⟹       θ A = 2 × 18,58 340       ⟹       θ A = 0 , 1092   r a d

Para converter esse valor de ângulo de radiano para grau, multiplicamos ele por 180 e dividimos por π .

θ A = 0 , 1092 × 180 π       ⟹       θ A = 6,26   °

Show de bola! Finalizamos com a questão! Vamos tirar 10 na prova! :-D

Resposta

θ A = 6,26   °

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