Enunciado

A treliça espacial com 16 m de altura é erguida sobre uma base horizontal quadrada com 12 m de lado. Cabos de amarração são presos à estrutura em E e G como mostrado e são esticados até que a tração T em cada cabo valha 9 kN. Calcule a força F em cada elemento diagonal.

Passo 1

Vamos calcular as forças pelo método dos nós, aplicando as três equações de equilíbrio (para x , y e z ) para os pontos de interseção dos elementos da treliça. A primeira coisa a se notar aqui é a simetria que existe na estrutura, em relação ao plano que contém B D H e em relação ao plano que contém A C G . Essa simetria nos permite identificar as seguintes igualdades entre as forças:

  1. Todas as forças diagonais são iguais:
  2. T A F = T C F = T A H = T C H

  3. Todas as forças dos elementos horizontais do topo da treliça são iguais:
  4. T E F = T F G = T G H = T E H

  5. As forças dos elementos verticais opostos são iguais:

T A E = T C G

T B F = T B H

Essas igualdades facilitarão nosso cálculo.

Passo 2

Agora temos qu escolher um nó para fazer as equações e encontrar as forças. Devemos pegar um ponto de cima, pois em baixo temos forças desconhecidas e teremos mais trabalho. Nos nós F e H , temos as forças desconhecidas dos elementos horizontais que chamaremos de T ( T = T E F = T F G = T G H = T E H ), as forças dos elementos verticais e as forças diagonais F que queremos encontrar. Já nos pontos G e E temos menos incógnitas. Vamos olhar o ponto G :

Posicionamos os eixos coordenados de maneira conveniente pra calcular as equações de equilíbrio. Como só estamos interessados em achar o valor de T (pois ele está presente nos nós F e H que é onde obteremos F ), fazemos a soma das forças no eixo x :

∑ F x = 0 ⇒ - 2 T cos ⁡ 45 ° + 9 cos ⁡ θ = 0

Achamos cos ⁡ θ facilmente da seguinte maneira:

G I - 2 = 16 2 + 6 2 = 256 + 36 = 292

G I - = 292 = 17,09

cos ⁡ θ = 6 17,09 = 0,3511

Então substituindo os cossenos achamos T :

- 2 T 0,7071 + 9 0,3511 = 0 ⇒ - 1,414 T + 3,16 = 0

⇒ 1,414 T = 3,16 ⇒ T = 3,16 1,414 = 2,235   k N

Passo 3

Vamos olhar agora para o ponto F , posicionando de maneira diferente os eixos x , y e z :

Para evitar a incógnita T B F , fazemos a soma das forças no eixo x :

∑ F x = T - F cos ⁡ α = 0 ⇒ F = T cos ⁡ α

Achamos cos ⁡ α assim:

cos ⁡ α = 12 16 2 + 12 2 = 12 256 + 144 = 12 400 = 12 20 = 0,6

Então:

F = T cos ⁡ α = 2,235 0,6 ⇒ F = 3,725   k N

Como podemos ver no desenho e o sinal deu positivo, a força do elemento é de contração. Pela simetria, então encontramos todos os elementos diagonais:

F = T A F = T C F = T A H = T C H = 3,725   k N

Resposta

F = 3,725   k N   ( C )

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