Enunciado

Uma treliça espacial é construída na forma de um cubo com seis membros diagonais mostrados. Verifique se a treliça está internamente estável. Se a treliça está sujeita às forças compressivas P

Passo 1

Verificaremos se a treliça é estaticamente determinada internamente pela equação abaixo

m + 6 = 3 j

Onde m é um número de membros e j número de juntas. Esta treliça contém seis juntas e doze membros

m = 18 j = 8 18 + 6 = 3 ⋅ 8 24 = 24

Uma vez que a equação é satisfeita, isso significa que a treliça é determinada estaticamente

Podemos ver que existem três forças desconhecidas agindo no ponto F, portanto, analisando a junta F, podemos determinar as forças EF e FG

Passo 2

Vamos supor que todos os membros estejam em tensão

Podemos ver que as forças FE, FG e FB são paralelas aos eixos x, y, z, respectivamente, para que possamos escrevê-los como

F → = E F ( - 1 i → + 0 j → + 0 k → ) F → G = F G ( 0 i → + 1 j → + 0 k → ) F B → = B F ( 0 i → + 0 j → - 1 k → )

Passo 3

Podemos escrever o vetor força P ⃗ como um produto de sua magnitude P e um vetor unitário de direção da força n P -

P → = P n P →

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos F e D são

F ( a , 0 , a ) D ( 0 , a , 0 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever nP como

n P → = F D → F D ¯ ¯

= X D - X F i → + Y D - Y F j → + Z D - Z F k → X D - X F 2 + Y D - Y F 2 + Z D - Z F 2 = 0 - 1 i → + 1 - 0 j → + 0 - 1 k → ( 0 - 1 ) 2 + ( 1 - 0 ) 2 + ( 0 - 1 ) 2 = - 1 i → + 1 j → - 1 k → 1 2 + 1 2 + 1 2 = - 0.577 i → + 0.577 j → - 0.577 k →

P → = P ( - 0.577 i → + 0.577 j → - 0.577 k → )

Passo 4

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio igualando a soma das forças a zero

∑ F = 0

F → E + F → G → + F → B → + P → = 0 E F ( - 1 i → + 0 j → + 0 k → ) + F G ( 0 i → + 1 j → + 0 k → ) + B F ( 0 i → + 0 j → - 1 k → ) + P ( - 0.577 i → + 0.577 j → - 0.577 k → ) = 0 ( - E F - 0.577 P ) i → + ( F G + 0.577 P ) j → + ( - B F - 0.577 P ) k → = 0

Agora temos 3 equações de equilíbrio

∑ F X = 0

- E F - 0.577 P = 0 (1)

∑ F Y = 0

F G + 0.577 P = 0 (2)

∑ F Z = 0

- B F - 0.577 P = 0 (3)

Passo 5

Da equação (1), podemos determinar a força no membro EF

- E F - 0.577 P = 0                                                                                 ( 1 ) E F = - 0.577 P

Obtivemos um resultado negativo, o que significa que o membro EF está em compressão

E F = 0.577 P C

Da equação (2), podemos determinar a força no membro FG

F G + 0.577 P = 0                                                                                       ( 2 ) F G = - 0.577 P

Ao analisar a junta H e igualar a soma das forças na direção x a zero, fica claro que a força no membro GH é igual a zero

∑ F X = 0

G H = 0

Ao analisar a junta C e igualar a soma das forças na direção z a zero, fica claro que a força no membro CG é igual a zero

∑ F Z = 0

C G = 0

Passo 6

Agora, existem três forças desconhecidas agindo no ponto G, então, analisando a junta G, podemos determinar a força no membro EG

Vamos assumir que todos os membros estão em tensão e como sabemos que os membros EG, BG e DG são diagonais de quadrados que se encontram nos planos xOy, xOz e yOz respectivamente, podemos escrevê-los como

G B → = B G 0 i → - c o s ⁡ 45 ∘ j → - s i n ⁡ 45 ∘ k → G B → = B G ( 0 i → - 0.707 j → - 0.707 k → ) G D → = D G - c o s ⁡ 45 ∘ i → + 0 j → - s i n ⁡ 45 ∘ k → G D → = D G ( - 0.707 i → + 0 j → - 0.707 k → ) G E → = E G - c o s ⁡ 45 ∘ i → - s i n ⁡ 45 ∘ j → + 0 k → G E → = E G ( - 0.707 i → - 0.707 j → + 0 k → )

enquanto vetor  G F →  é oposto ao vetor   F G →

G F → = F G ( 0 i → - 1 j → + 0 k → ) G F → = - 0.577 P ( 0 i → - 1 j → + 0 k → ) G F → = P ( 0 i → + 0.57 j → + 0 k → )

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio igualando a soma das forças a zero

∑   F = 0   G B → + G D → + G → E + G F → = 0 B G ( 0 i → - 0.707 j → - 0.707 k → ) + D G ( - 0.707 i → + 0 j → - 0.707 k → ) + E G ( - 0.707 i → - 0.707 j → + 0 k → ) + P ( 0 i → + 0.577 j → + 0 k → ) = 0 ( - 0.707 D G - 0.707 E G ) i → + ( - 0.707 B G - 0.707 E G + 0.577 P ) j → + + ( - 0.707 B G - 0.707 D G ) k → = 0

Agora temos 3 equações para o equilíbrio

∑ F X = 0

- 0.707 D G - 0.707 E G = 0 (4)

∑ F Y = 0

- 0.707 B G - 0.707 E G + 0.577 P = 0 (5)

∑ F Z = 0

- 0.707 B G - 0.707 D G = 0 (6)

Passo 7

Vamos multiplicar a equação (6) por (-1)

- 1 ( 6 ) = 0.707 B G + 0.707 D G = 0 (7)

Agora, adicionando as equações (4), (5) e (7), obteremos a equação em que EG é a única incógnita

( 4 ) + ( 5 ) + ( 7 ) = - 1.414 E G + 0.557 P = 0

E G = 0.557 P 1.414

E G = 0.408 P T

Resposta

E F = 0.577 P C E G = 0.408 P T

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