Enunciado

Um trem do traslado do aeroporto viaja entre dois terminais separados por 1,6 mi. Para manter o conforto do passageiro, a aceleração do trem é limitada a ± 4ft/s², e o solavanco, ou taxa de variação da aceleração, é limitada a ± 0,8 pés/s² por segundo. Se a lançadeira tem uma velocidade máxima de 20 mi/h, determine (a) o menor tempo para a lançadeira viajar entre os dois terminais, (b) a velocidade média correspondente da lançadeira

Passo 1

Dados: x m a x = 1.6 m i ; a 1 m a x = 4 f t / s 2

d a d t m a x = 0.8 f t / s 2 / s ; v m a x = 20 m i / h

Primeira nota: 20 m i / h = 29.333 f t / s 1.6 m i = 8448 f t

Passo 2

(a) Para obter o trem, o trem deve acelerar e desacelerar na taxa máxima para maximizar o tempo para o qual v = vmax. O tempo necessário para o trem ter uma aceleração de 4 pés/s² é encontrado a partir de:

d a d t m a x = a m a x Δ t

Ou Δ t = 4 f t / s 2 0.8 t t / s 2 / s

Ou Δ t = 5 s

Agora,

Depois de 5s, a velocidade do trem é:

v 5 = 1 2 Δ t a m a x          desde que    d a d t =  constant e  

Ou v 5 = 1 2 ( 5 s ) 4 f t / s 2 = 10 f t / s

Passo 3

Então, como v 5 < v m a x , o trem continuará a acelerar a 4 pés/s² até v = vmax. A curva a — t deve ter a forma mostrada. Observe que a magnitude da inclinação de cada porção inclinada da curva é de 0,8 pés/s²/s.

Agora:

em   t = 10 + Δ t 1 s , v = v m a x :

2 1 2 ( 5 s ) 4 f t / s 2 + Δ t 1 4 f t / s 2 = 29.333 f t / s

Ou Δ t 1 = 2.3333 s

Então em   t = 5 s v = 0 + 1 2 ( 5 ) ( 4 ) = 10 f t / s

t = 7.3333 s :             v = 10 + ( 2.3333 ) ( 4 ) = 19.3332 f t / s

t = 12.3333 s :         v = 19.3332 + 1 2 ( 5 ) ( 4 ) = 29.3332 f t / s

Usando simetria, a curva v—t está desenhada abaixo

Note que A 1 = A 2 = A 3 = A 4 , e que a áre sob a curva v---t é igual a Xmax, temos:

2 ( 2.3333 s ) 10 + 19.3332 2 f t / s

+ 10 + Δ t 2 s × ( 29.3332 f t / s ) = 8448 f t

Ou Δ t 2 = 275.67 s

Então t min   = 4 ( 5 s ) + 2 ( 2.3333 s ) + 275.67 s

= 300.34 s

Ou t m i n = 5.01 m i n

Passo 4

(b) Temos v ave  = Δ x Δ t = 1.6 m i 300.34 s × 3600 s 1 h

Ou v a v e = 19.18 m i / h

Resposta

(a) t m i n = 5.01 m i n

(b) v a v e = 19.18 m i / h

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