Enunciado

Uma trena de aço é usada por um supervisor para medir o comprimento de uma reta. A seção transversal da trena é retangular, com 1,25   mm de espessura por 5   mm de largura, e o comprimento é 30   m quando T 1 = 20   ° C e a carga de tração da trena é 100   N . Determine o comprimento verdadeiro da reta medida se a leitura da trena for 139   m quando usada sob tração de 175   N a T 2 = 40   ° C . O piso onde a trena é utilizada é plano. α a ç o = 17 ( 10 - 6 ) / ° C , E a ç o = 200   GPa .

Passo 1

Uma trena de aço está sendo usada para medir um comprimento. Inicialmente, a trena estava a uma certa temperatura e sob uma certa tensão. Mas durante a medição, a temperatura na trena aumentou e ela foi tensionada ainda mais!

Características da trena:

  • Aço: E = 200   GPa.
  • Área: A = 1,25 ⋅ 5 = 6,25   mm 2 .
  • Comprimento: L = 30   m .
  • Tração original: F 1 = 100   N . Tração durante a medição: F 2 = 175   N .
  • Variação de temperatura: Δ T = 40 - 20 = 20   ° C .
  • Coeficiente de expansão térmica: α a ç o = 17 ⋅ 10 - 6   ° C - 1 .

Essa trena é usada para medir uma reta em um piso plano e nos dá o valor de L m e d i d o = 139   m .

Como a trena expandiu por causa da mudança de temperatura e carga, queremos saber qual é o verdadeiro comprimento L r e a l da reta no piso.

Passo 2

O aumento de temperatura vai causar uma expansão térmica na trena, δ T .

O aumento de carga vai também estendê-la: δ F .

Como a trena aumenta, a medição dela vai nos dar um valor menor do que o verdadeiro! Para compensar, temos que adicionar o quanto ela esticou:

L r e a l = L m e d i d o + δ T   +   δ F

Precisamos achar δ T e δ F .

Passo 3

O comprimento original da trena, L = 30   m , é considerando que ela está tracionada por uma força F 1 . Quando tracionarmos além de F 1 (excesso!), ela estica δ F .

Na fórmula da relação carga-deslocamento temos que considerar o excesso de força que fez ela se esticar agora!

δ = F   L A   E → δ F = F 2 - F 1   L m e d i d o A   E

δ F = 0,0083   m

Fica atento que você tem que usar o L m e d i d o = 139   m mesmo na fórmula, e não L = 30   m ! A deformação ocorreu durante todas as medições para achar L m e d i d o (a trena teve que ser usada várias vezes). Se você usar L , está computando o esticamento de apenas um uso da trena!

Passo 4

Para achar δ T é mole, só usar a relação de expansão térmica.

δ = α   Δ T   L → δ T = α   Δ T   L m e d i d o

δ T = 0,0473   m

Aqui também tem que usar L m e d i d o , e não L ! Mesmo motivo do Passo 3.

Passo 5

Só somar pra acabar!

L r e a l = L m e d i d o + δ T   +   δ F = 139,056   m

Resposta

Comprimento verdadeiro: L r e a l = 139,056   m .

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