Enunciado

As três esferas com 100   m m de diâmetro constrúidas com diferentes metais estão localizadas nos vértices de um triângulo equilátero no espaço profundo. Determine a resultante R das forças gravitacionais que as esferas de alumínio e de ferro fundido exercem sobre a esfera de cobre

Passo 1

Vamos começar relembrando a fórmula para o módulo da força gravitacional:

F = G m 1 m 2 r 2  

Já temos os valores de r , mas precisamos encontrar as massas a partir das densidades dos materiais, que estão na tabela ao final do livro. ρ A l = 2690   k g / m 3 , ρ F e = 7210   k g / m 3 , ρ C o = 8910   k g / m 3 .

E usando a fórmula da densidade e do volume da esfera, e convertendo o raio da esfera para metros, podemos calcular as massas:

m = ρ V = ρ 4 3 π R 3

m A l = 2690 4 3 π 0,05 3 ≅ 1,41   k g

m F e = 7210 4 3 π 0,05 3 ≅ 3,78   k g

m C o = 8910 4 3 π 0,05 3 = 4,67   k g

Passo 2

Agora já podemos calcular os módulos das forças. Começando com as esferas de Alumínio e Cobre:

F A C = G m C o m A l r 2 = G 4,67 1,41 1 2 = 6,67.10 - 11 4,67 1,41 ≅ 4,39.10 - 10   N

E agora as esferas de Ferro e Cobre:

F F C = G m c o m F e r 2 = 6,67.10 - 11 4,67 3,78 1 2 ≅ 1,18.10 - 9   N

Mas agora, para fazer a soma vetorial dessas duas forças, precisamos achar suas componentes em x e y . Vamos analisar o ângulo nessa imagem:

s e n ⁡ α = 0,5 1 = 0,5

cos ⁡ α = 1 - sen 2 ⁡ α = 1 - ( 1 / 2 ) 2 = 3 2

E o ângulo é o mesmo do outro lado!

Passo 3

Agora podemos usar esse ângulo para encontrar os componentes dos vetores:

F A C = 4,39.10 - 10   N

F → A C = - F A C sen ⁡ α i ^ + F A C cos ⁡ α j ^

F → A C = 4,39.10 - 10 N - 1 2 i ^ + 3 2 j ^

E fazendo a mesma coisa para a outra força:

F → F C = 1,18.10 - 9 1 2 i ^ + 3 2 j ^

E agora a soma fica bem mais simples:

F → F C + F → A C = 4,39.10 - 10 N - 1 2 i ^ + 3 2 j ^ + 1,18.10 - 9 1 2 i ^ + 3 2 j ^

F → F C + F → A C = 1,18.10 - 9 - 4,39.10 - 10 N 2 i ^ + 3 4,39.10 - 10 N + 3 1,18.10 - 9 2

F → F C + F → A C ≅ 3,71.10 - 10   i ^ + 1,40.10 - 9   j ^

E essa é a força resultante sobre a esfera de alumínio!

F → R = 3,71.10 - 10   i ^ + 1,40.10 - 9   j ^

Resolvido!

Resposta

A força resultante é F → R = 3,71.10 - 10   i ^ + 1,40.10 - 9   j ^ .

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