Enunciado

Três esferas de aço de massas iguais estão suspensas no teto por cordas de comprimentos iguais colocadas a uma distância ligeiramente superior ao diâmetro das esferas. Após ser puxada para trás e liberada, a esfera A bate na esfera B que por sua vez bate na esfera C . Representando por e o coeficiente de restituição entre as esferas e por v0 a velocidade de A imediatamente antes de bater em B , determine ( a ) as velocidades de A e B imediatamente após a primeira colisão, ( b ) as velocidades de B e C imediatamente após a segunda colisão. ( c ) Considerando agora que n esferas estão suspensas no teto e que a primeira esfera é puxada para trás e liberada como descrito anteriormente, determine a velocidade da última esfera após sofrer a primeira batida. ( d ) Use o resultado da parte c para obter a velocidade da última esfera quando n = 6 e e = 0,95 .

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Beleza? Bora pra mais uma questão de dinâmica. Para a primeira colisão, entre A   e B , temos:

m A v A + m B v B = m A v A ' + m B v ' B v 0 = v A ' - v B '

Em seguida, vamos utilizar a relação do coeficiente de restituição a fim de encontrarmos uma segunda equação para o sistema. Temos:

v B ' - v A ' = e A B v A - v B v B ' - v A ' = e v 0

Opa, galera temos um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Assim, resolvendo o sisteminha encontramos:

v A ' = v 0 1 - e 2 v B ' = v 0 1 + e 2

Opa, essas são as velocidades de A e B após a primeira colisão.

Passo 2

Para a segunda colisão, entre B   e C , vamos repetir o processo do passo anterior, porém, devemos utilizar v B ' encontrado anteriormente como v B para esta colisão. Por conservação do momento linear, temos:

m B v B + m C v C = m B v ' B + m C v C ' v 0 1 + e 2 + 0 = v B ' + v C '

E então, pela relação do coeficiente de restituição, temos:

v C ' - v B ' = e v B - v C v C ' - v B ' = e v 0 1 + e 2 - 0

Resolvendo o sistema, temos:

v B ' = v 0 1 - e 2 2 v C ' = v 0 1 + e 2 4

Encontramos as novas velocidades após o segundo impacto para B e C .

Passo 3

Agora, vamos considerar que n esferas estão suspensas no teto e que a primeira esfera é puxada para trás e liberada como descrito anteriormente e para que determinemos a velocidade da última esfera após sofrer a primeira batida, temos:

n → b o l a s n - 1 → c o l i s õ e s

É possível observar um padrão olhando para os resultados para as duas primeiras colisões. Vamos comparar com a segunda:

v i ' = v 0 1 - e 4 2 v j ' = v 0 1 + e 2 4

Onde i é a bola que está inicialmente em movimento e j a bola em repouso.

Neste caso, tínhamos 3 bolas e 2 colisões e que os expoentes encontrados nas velocidades é igual a ( n - 1 ) . Logo, em uma situação genérica com n cbolas, teremos:

v i ' = v 0 1 - e 2 n - 1 n - 1 v j ' = v 0 1 + e n - 1 2 n - 1

Onde v j ' é a velocidade da última esfera.

Passo 4

Por fim, para encontrarmos a velocidade da última esfera quando n = 6 e e = 0,95 basta substituirmos na equação que encontramos no passo 3 . Fica assim:

v B ' = v 0 1 + e n - 1 2 n - 1 v B ' = v 0 1 + 0,95 6 - 1 2 6 - 1   v B ' = 0,881 v 0  

É isso, galera. Bora zerar esse livro!

Resposta

v A ' = v 0 1 - e 2 v B ' = v 0 1 + e 2

v B ' = v 0 1 - e 2 2 v C ' = v 0 1 + e 2 4

v j ' = v 0 1 + e n - 1 2 n - 1

v B ' = 0,881 v 0

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