Enunciado

Observações mostram que um corpo celeste que viaja a 1,9 × 10 6   k m / h parece estar descrevendo um círculo em torno do ponto B de raio igual a 60 anos-luz. Suspeita-se que o ponto B seja uma concentração de massa muito densa conhecida como buraco negro. Determine a razão M B / M S entre a massa de B e a massa do Sol. (A massa do Sol é 330.000 vezes a massa da Terra e um ano-luz é a distância percorrida pela luz em um ano à velocidade de 298.000   k m / s .)

Passo 1

Oi, pessoal! Vamos para a resolução de mais um problema?

Primeiro vamos fazer um esboço da situação enunciada no problema.

Em que M B é a massa do ponto B , r é o raio do círculo que o corpo celeste descreve em torno de B e v é a velocidade na qual ele viaja. O problema pede que determinemos a razão entre a massa de B e a massa do Sol, M B / M S .

Nos são fornecidos os seguintes dados:

v = 1,9 × 10 6   k m / h = 527,777 × 10 3   m / s

r = 60   a n o s   l u z

v l u z = 298000   k m / s = 298 × 10 6   m / s

Um ano luz é a distância percorrida pela luz em um ano à velocidade de 298 × 10 6   m / s . Portanto, sendo 60 anos luz, temos:

r = [ ( 3600   s / h ) ( 24   h / d i a ) ( 365   d i a s / a n o ) ]   ( 298 × 10 6   m / s ) ( 60   a n o s )

r = 5 , 6386 × 10 17   m

Passo 2

A força centrípeta que o Sol exerce sobre um planeta de massa m , que se move com velocidade v à uma distância r do Sol, é dada por:

F = m v 2 r

A partir disso, Newton deduziu que, dois corpos com centros a uma distância r um do outro se atraem com força proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado de r (Lei de Newton da Gravitação Universal), conforme mostra a Eq. (12.27),

F =   G M B m r 2

Dessa forma,

G M B m r 2 = m v 2 r

M B = r v 2 G

Passo 3

No caso de um corpo de massa m sujeito à atração gravitacional da Terra, o produto G M , pode ser expresso de acordo a Eq. (12.29),

G M T e r r a = g R 2

em que M T e r r a e R são, respectivamente, a massa e o raio da Terra.

Sabemos que,

g = 9,8   m / s 2

e

R = 6378   k m = 6378 × 10 3   m

Então, substituindo na Eq. (12.29), temos,

G M T e r r a = 9,8 6378 × 10 3 2

G M T e r r a = 398,653 × 10 12   m 3 / s 2

O enunciado nos informa que a massa do Sol é 330000 vezes a massa da Terra, então,

M S = 330000 M T e r r a

G M S = 330000 G M T e r r a

G M S = 131,555 × 10 18   m 3 / s 2

e, portanto,

G = 131,555 × 10 18 M S

Passo 4

Substituindo G na equação

M B = r v 2 G

encontramos a relação M B / M S solicitada no problema:

M B = r v 2 M S 131,555 × 10 18

M B M S = 5,6386 × 10 17 ⋅ 527,777 × 10 3 2 131,555 × 10 18

M B M S = 1,193 × 10 9

Resposta

M B M S = 1,193 × 10 9

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