Enunciado

As três esferas idênticas, cada uma de massa m , estão apoiadas no plano vertical sobre o plano inclinado de 30 ° . As esferas estão soldadas às duas hastes de conexão de massa desprezível. A haste superior, também de massa desprezível, é livremente articulada à esfera superior e ao suporte em A . Se o obstáculo em B é repentinamente removido, determine a velocidade v com que a esfera superior atinge o plano inclinado. (Observe que a velocidade correspondente à esfera do meio é v / 2 .) Explique a perda de energia que ocorreu após todo o movimento cessar.

Passo 1

Pelo desenho podemos ver que as duas hastes e o plano formam um triângulo, e como os três ângulos internos são iguais a 60 ° podemos garantir que é um triângulo equlátero, e então o comprimento l da haste apoiada em A é:

l = 0,250 + 0,250 = 0,500   m

Vamos resolver essa questão pensando em energia mecânica, então precisamos começar calculando qual foi a queda vertical total de cada uma das esferas:

Antes a situação era a seguinte:

E depois da queda:

E os deslocamentos verticais foram:

h A = 0,250 + 0,250 = 0,500   m

h B = 0,250 + 0,125 = 0,375   m

h C = 0,125 + 0,125 = 0,250   m

Passo 2

E então a variação total da energia potencial gravitacional do sistema é:

Δ V g = ∑ m g Δ h

Δ V g = - ( m g ) ( h A + h B + h C )

Δ V g = - m g 0,500 + 0,375 + 0,250 = - 1,125 m g

E a variação da energia cinética é mais fácil de calcular, considerando que a velocidade inicial de todos é zero e que as velocidades finais de cada bola são:

v A = v

v B = v / 2

v C = 0

E então:

Δ T = ∑ 1 2 m v 2

Δ T = 1 2 m v 2 + v 2 4 = 5 8 m v 2

Passo 3

Agora vamos aplicar a lei de conservação da energia mecânica:

Δ T + Δ V g = 0

5 8 m v 2 - 1,125 m g = 0

v 2 = 1,125 9,81 8 5

v ≅ 4,20   m / s

Nesse caso nós analisamos a variação entre dois instantes: desde quando todo o sistema ainda estava em repouso, até o momento imediatamente antes da queda.

Logo após a colisão é de se esperar que todo o movimento vai cessar, e isso quer dizer que a energia mecânica total já não é a mesma de antes. Isso quer dizer que ouve perda de energia durante a colisão, associado ao impacto das bolas contra o plano inclinado.

Resposta

A velocidade com que a esfera superior atinge o plano inclinado é v = 4,20   m / s . A perda de energia está associada ao impacto das bolas contra o plano.

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