Enunciado

O tubo de 2   m de comprimento é feito de um material elástico perfeitamente plástico como mostra a figura. Determine o torque aplicado T que submete o material da borda externa do tubo à deformação por cisalhamento γ m a x = 0,006   r a d . Qual será o ângulo de torção permanente do tubo quando esse torque for removido? Faça um rascunho da distribuição de tensão residual no tubo.

Passo 1

Dados da questão: L = 2   m ,   r o = 35   m m ,   r i = 35   m m ,   γ e = 0,003   r a d ,   γ m a x = 0,006   r a d ,   τ e = 210   M P a e o material é elástico perfeitamente plástico.

A questão pede:

  • O torque (precisaremos descobrir se o torque é plástico ou elasto-plastico)
  • O ângulo de torção residual (permanente)

Estratégia de resolução:

  • Primeiro, precisamos saber se há ou não núcleo elástico nessa torção. Em outras palavras, precisamos saber se o raio interno está em regime plástico ou elástico.
  • Podemos, então aplicar a equação 5.23 para determinar o torque, com atenção ao tipo de regime de tensão atua.
  • Utilizando a deformação fornecida pela questão podemos calcular o ângulo de torção plástica
  • Utilizando o torque poderemos calcular o ângulo de recuperação de torção elástica.
  • Por fim vamos calcular o ângulo de torção residual

Passo 2

Em questões que envolvem deformação permanente, será útil sabermos o valor do momento de inércia e do módulo de cisalhamento do material

Momento de inércia:

J = π 2 r o 4 - r i 4 = π 2 0,035 4 - 0,030 4   m 4 ⇒ J = 1,08 ⋅ 10 - 6   m 4

O módulo de cisalhamento pode ser calculado observando o gráfico fornecido e utilizando a lei de hook:

G = τ e γ e = 210   M P a 0,003   r a d ⇒ G = 70000   M P a

Passo 3

Para saber se há ou não região de comportamento elástico basta calcular qual é a deformação na região interna do eixo.

Por proporção, sabemos que:

γ m á x r o = γ i r i

Manipulando:

γ i = r i ⋅ γ m á x r o

Substituíndo os valores:

γ i = 30   m m ⋅ 0,006   r a d 35   m m

γ i = 0,514   r a d

A deformação γ i é maior do que a deformação de escoamento. Isso quer dizer que toda a seção transversal tem comportamento plástico.

Passo 4

Agora aplicamos a Equação 5.23 para determinar o torque:

T = 2 π ∫ r i r o τ ⋅ ρ 2 d ρ

Observando o gráfico fornecido, sabemos que no regime plástico a tensão é constante e igual a tensão de escoamento.

T = 2 π ⋅ τ e ∫ r i r o ρ 2 d ρ

T = 2 π ⋅ τ e ⋅ ρ 3 r i r o

T = 2 π 3 ⋅ τ e ⋅ ( r o 3 - r i 3 )

Substituíndo os valores:

T = 2 π 3 ⋅ τ e ⋅ ( r o 3 - r i 3 )

T = 2 π 3 ⋅ 210 ⋅ 10 6 ⋅ 0,035 3 - 0,030 3 ⋅ P a ⋅ m 3

T = 6982,19   N m

Passo 5

Para determinar o ângulo de torção permanente primeiro precisamos saber qual foi o ângulo de torção gerado pela deformação plástica. Pela equação 5.25

ϕ p = γ m á x L r o

Substituíndo os valores:

ϕ p = 0,006   r a d ⋅ 2   m 0,035   m

ϕ p = 0,34285   r a d

Passo 6

Quando o torque é removido, o material recupera parte do seu formato original. Para calcular, basta aplicar o mesmo torque, mas considerando um regime elástico (afinal, é uma “recuperação elástica”). Podemos aplicar a equação 5.15:

ϕ ' = T L G J

Substituíndo os valores:

ϕ ' = 6982,19 ⋅ 2 70000 ⋅ 10 6 ⋅ 1,08 ⋅ 10 - 6 ⋅ N m ⋅ m P a ⋅ m 4

ϕ ' = 0,18471   r a d

Passo 7

Para terminar a questão, basta subtrair a o ângulo de recuperação elástica do ângulo de deformação plástico e encontramos o ângulo de torção residual.

ϕ r = ϕ p - ϕ '

Substituíndo os valores

ϕ r = 0,34285 - 0,18471

ϕ r = 0,15814   r a d

Resposta

T = 6982,19   N m

ϕ r = 0,15814   r a d

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O tanque de pressurizado mostrado na figura foi fabricado soldando-se tiras de chapa ao longo de uma hélice formando um ângulo β com um plano transversal. Determine o maior valor de β que pode ser uti
Para o tanque de ar comprimido do Problema 7.112 , determine a pressão manométrica que provocará uma tensão de cisalhamento paralela à solda de 30M P a .A parte cilíndrica do tanque de ar comprimido m
Determine a maior pressão interna que pode ser aplicada a um tanque cilíndrico com 55,5p é s é de diâmetro externo e 5 8 i n de espessura de parede, se o limite de tensão do aço utilizado é de 65k s i
Uma adutora de aço tem diâmetro externo de 36i n , uma espessura de parede 0,5i n e conecta um reservatório em A com uma estação geradora de energia em B . Sabendo que a densidade da água é de 62,4l b
A parte cilíndrica do tanque de ar comprimido mostrado na figura é fabricada com uma placa de 8m m de espessura soldada ao longo de uma hélice formando um ângulo β = 30 ° com a horizontal. Sabendo que