Enunciado

O material de fabricação de cada um dos três eixos tem tensão de escoamento τ e e módulo de cisalhamento G . Determine qual das geometrias resistirá ao maior torque sem escoamento. Qual porcentagem desse torque pode ser suportada pelos ouros eixos? Considere que cada eixo é feito com a mesma quantidade de material e a mesma área de seção transversal.

Passo 1

Falaa!

A questão quer que a gente analise qual dessas formas resiste melhor à torção. As únicas informações das questão são: a área igual das três figuras e que elas tem a mesma tensão de escoamento.

A estratégia de resolução é a seguinte: Vamos tentar utilizar as equações da Tabela 5.1 para fazer essa análise porque elas dão a tensão de cisalhamento em relação ao torque para seções nesses formatos. São elas:

- Para um quadrado de lado b :

τ m á x = 4,81 T b 3

- Para o triângulo de lado a:

τ m á x = 20 T a 3

- Para o círculo de raio r :

τ m á x = 2 T π r 3

Repara que a gente quer o T , tem τ m á x = τ e , mas não tem as dimensões das seções, só sabemos que elas tem áreas iguas.

Vamos aproveitar que as três formas tem áreas iguais de valor A para relacionar o lado do quadrado, com o lado do triângulo e o raio da circunferência. Bora!

Passo 2

Vamos achar as dimensões das nossa peças em função de A , a área comum a elas.

Vamos relacionar a área do triângulo com o lado, sabendo que todos os ângulos internos dele vale 60 ° :

h ⋅ a ⋅ 1 2 = A

a ⋅ sen ⁡ 60 ⋅ a ⋅ 1 2 = A

3 4 a 2 = A

a = 2 3 4 A

Área da circunferência:

π r 2 = A

r = A π

Área do quadrado:

b 2 = A

b = A

Passo 3

Agora vamo utilizar as equações da Tabela 5.1 para calcular os torques:

Quadrado:

τ m a x = 4,81   T q u a d r a d o b 3

τ e = 4,81   T q u a d r a d o A 3

T q u a d r a d o = τ e A 3 4,81

T q u a d r a d o = τ e A 3 4,81

T q u a d r a d o = 0,208   τ e A 3

Triângulo:

τ m a x = 20   T t r i â n g u l o a 3

τ e = 20   T t r i â n g u l o 2 3 4 A 3  

T t r i â n g u l o = τ e 2 3 4 A 3   20

T t r i â n g u l o = 0,175   τ e A 3

Círculo:

τ m a x = 2   T c í r c u l o π ⋅ r 3

τ e = 2   T c í r c u l o π A π 3 / 2

T c í r c u l o = τ e   A 3 / 2 2 π

T c í r c u l o = 0,282   τ e A 3

Passo 4

Baseado nas equações anteriores, percebemos que a estrutura que aguenta maior torque é a circunferência.

Vamos agora dividir o torque no triângulo e o torque no quadrado pelo torque máximo, para encontrar as razões entre eles.

Porcentagem do torque sobre a seção quadrada

T q u a d r a d o T c í r c u l o = 0,208   τ e A 3 0,282   τ e A 3

T q u a d r a d o T c í r c u l o = 0,738

T q u a d r a d o T c í r c u l o = 73,8 %

Porcentagem do torque sobre a seção triangular

T t r i â n g u l o T c í r c u l o = 0,175 ⋅ τ m a x ⋅ A 3 0,282 ⋅ τ m a x ⋅ A 3

T t r i â n g u l o T c í r c u l o = 0,621

T t r i â n g u l o T c í r c u l o = 62,1 %

Resposta

T q u a d r a d o T c í r c u l o = 73,8 %

T t r i â n g u l o T c í r c u l o = 62,1 %

A que aguenta mais é a seção circular.

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