Enunciado

35. O tubo da perfuratriz tem diâmetro externo de 75   m m , espessura de parede de 6   m m   e pesa 0,8   k N / m . Se for submetido a um torque e a carga axial como mostra a figura, determine:

(a) as tensões principais e

(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano em um ponto sobre a sua superfície na seção a .

Passo 1

Salve salve meu aprovado, tudo beleza?

Se liga só, nesse exercício aqui o enunciado nos diz que o tubo da perfuratriz tem diâmetro externo de 75   mm , espessura de parede de 6   mm e pesa 0,8   kN/m .

Então se ele for submetido a um torque e uma carga axial como mostrado na figura, o enunciado quer que a gente determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano em um ponto sobre a sua superfície na seção a .

Belezoca, vamos primeiro montar o diagrama de esforço cortante e momento fletor:

O valor de 4,8 kN foi calculado com a informação dada no enunciado. Como a distância até a seção a pela parte de cima é de 6   m , basta multiplicar o valor da cara distribuída pela distância ( 0,8   k N / m ⋅ 6   m = 4,8   m ) .

Agora é só realizar a análise dos esforços cortantes e momento fletor:

↶ + ∑ M = 0

T - 1,2   kN⋅m = 0  

T = 1,2   kN⋅m

E para as forças:

↑ + ∑ F y = 0

N - 7,5   N - 4,8   N = 0  

N = 12,3   kN

Passo 2

E agora, vamos realizar o cálculo da tensão de um ponto na superfície a , dada a fórmulazinha:

σ A = - N A

Sendo assim, obtemos que:

σ A = - 12,3 × 10 3   N π ( 0,0375   m 2 - ( 0,0315   m ) 2 )

σ A ≅ - 9,46   M P a   ( Compressão )

E em seguida, o cálculo da tensão máxima de cisalhamento de um ponto na nossa superfície:

τ A = T c J

τ A = ( 1,2 × 10 3   N⋅m ) ( 0,375   m ) π 2 ( 0,0375   m 4 - ( 0,0315   m ) 4 )

τ A ≅ 28,85   M P a

Passo 3

(a) Obtidas as tensões de estado plano já podemos calcular, então, as tensões principais; que são dadas pela fórmula abaixo:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = 0   M P a + ( - 9,46   M P a ) 2 ± 0   M P a - ( - 9,46   M P a ) 2 2 + ( 28,85   M P a ) 2

σ 1,2 ≅ - 4,73   M P a ± 29,235   M P a

Obtemos duas tensões, onde uma vai ser máxima, σ 1 e outra vai ser mínima, σ 2 , logo para σ 1 :

σ 1 ≅ - 4,73   M P a + 29,235   M P a

σ 1 = 24,51   M P a

Agora para σ 2 :

σ 2 ≅ - 4,73   M P a - 29,235   M P a

σ 2 = - 33,96   M P a

Passo 4

(b) E por fim, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima no plano τ m á x :

τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ m á x = 0   M P a - ( - 9,46   M P a ) 2 2 + ( 28,85   M P a ) 2

τ m á x ≅ 29,24   M P a

Resposta

(a) Tensões principais de um ponto na superfície a :

σ 1 ≅ 24,51   M P a

σ 2 ≅ - 33,96   M P a

(b) Tensão de cisalhamento máxima de um ponto na superfície a :

τ m á x ≅ 29,24   M P a

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