Enunciado

30. A viga de abas largas está sujeita às cargas mostradas. Determine a tensão principal na viga no ponto A e no ponto B. Esses pontos estão localizados na parte superior e na parte inferior da alma, respectivamente. Embora a precisão não seja muito boa, use a fórmula do cisalhamento para calcular a tensão de cisalhamento.

Passo 1

Primeiro, vamos calcular os esforçoes cortantes e os momentos fletores da viga.

Montaremos, então, o diagrama de esforços cortantes e momento fletor no ponto A (ou B ):

→ + ∑ F x = 0

21,65   k N - N = 0

N   = 21,65   k N

↑ + ∑ F y = 0

V   - 12,5   k N - 24   k N = 0

V = 12,5   k N + 24   k N

V = 36,5   k N

↶ + ∑ M = 0

M   - 24   k N × 1,5   m - 12,5   k N × 3   m = 0

M = 24   k N × 1,5   m + 12,5   k N × 3   m

M = 73,5   k N ⋅ m

Passo 2

Agora, vamos calcular o centroide da seção transversal. Sabemos que o centroide é dado pela média ponderada das áreas retangulares e seus respectivos centroides no eixo.

y C G = A 1 × C 1 + A 2 × C 2 + A 3 × C 3 A 1 + A 2 + A 3

Como as peças são iguais, as áreas A 1 ,   A 2   e   A 3 serão iguais:

y C G = 10 m m × 200 m m ( 215 m m + 110 m m + ( 5 m m ) ) 10 m m × 200 m m + 10 m m × 200 m m + 10 m m × 200 m m

y C G = 110   m m

Perceba que o centro de gravidade acontece exatamente na metade da peça.

Passo 3

Devemos, então, calcular o momento de inércia da seção transversal. Sabemos que para seções retangulares, temos a seguinte equação de momento de inércia:

I = 1 12 ( b h 3 )

Onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo.

Neste caso, devemos usar o Teorema dos Eixos Paralelos, pois os centroides das peças separadas não estão no mesmo eixo que o centroide da peça total. Esse teorema é dado por:

I T = I + A d 2

Onde a é a área de um elemento separado e d é a distância do seu centroide com o centroide da peça total.

Mas como o centroide da peça 2 coincide com o centroide da peça total, não será preciso aplicar o teorema dos eixos paralelos para ela:

I T = I P 1 + A 1 d 1 2 + I P 2 + I P 3 + A 3 d 3 2

I P 1 + A 1 d 1 2 = ( 0,2   m ) ( 0,01   m ) 3 12 + 0,2   m × 0,01   m ( 0,105   m ) 2 I P 2 = ( 0,01   m ) ( 0,2   m ) 3 12 I P 3 + A 3 d 3 2 = ( 0,2   m ) ( 0,01   m ) 3 12 + 0,2   m × 0,01   m ( 0,105   m ) 2

I T = I P 1 + A 1 d 1 2 + I P 2 + I P 3 + A 3 d 3 2

I T ≅ 2,20666 × 10 - 5   m 4 + 0,6667 × 10 - 5   m 4 + 2,20666 × 10 - 5   m 4

I T ≅ 5,08 × 10 - 5   m 4

Passo 4

Como nossos cálculos anteriores eram comuns aos dois pontos do enunciado, iremos dividir a questão, resolvendo primeiro que foi pedido para o ponto A e depois para o ponto B .

Vamos fazer o cálculo da tensão no ponto A :

σ A = N A + M y A I

σ A = 21,65 × 10 3   N 0,006   m 2 - 73,5 × 10 3   k N ⋅ m 0,1   m 5,08 × 10 - 5   m 4

σ A ≅ 148,29   M P a   ( T r a ç ã o )

Agora, façamos o cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto A :

τ A = V Q A I t

τ A = ( 36,5 × 10 3   N ) ( 0,105 × 0,2 × 0,01   m 3 ) ( 5,08 × 10 - 5   m 4 ) ( 0,01 m )

τ A ≅ 15,089   M P a

Passo 5

Em seguida, calcularemos, então, as tensões principais no ponto A :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = ( 148,28   M P a ) + ( 0   M P a ) 2 ± 148,28   M P a - ( 0   M P a ) 2 2 + ( - 15,089   M P a ) 2

σ 1,2 ≅ 74,145   M P a ± 75,66   M P a

Obtemos duas tensões, uma máxima σ 1 e uma mínima σ 2 :

σ 1 ≅ 74,145   M P a + 75,66   M P a ≅ 150   M P a

σ 2 ≅ 74,145   M P a - 75,66   M P a ≅ - 1,52   M P a

Passo 6

Fazendo as contas agora para o ponto B , temos que:

Primeiro, obter o cálculo da tensão no ponto B :

σ B = N A - M y B I

σ B = 21,65 × 10 3   N 0,006   m 2 - 73,5 × 10 3   k N ⋅ m 0,1   m 5,08 × 10 - 5   m 4

σ B ≅ - 141,076   M P a   ( C o m p r e s s ã o )

Segundo, fazer o cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto B :

τ B = V Q B I t

τ B ≅ ( 36,5 × 10 3   N ) ( 0,105 × 0,2 × 0,01   m 3 ) ( 5,08 × 10 - 5   m 4 ) ( 0,01 m )

τ B ≅ 15,089   M P a

Passo 7

Terceiro, fazer o cálculo das tensões principais no ponto B :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = ( - 141,08   M P a ) + ( 0   M P a ) 2 ± - 141,08   M P a - ( 0   M P a ) 2 2 + ( - 15,089   M P a ) 2

σ 1,2 ≅ - 70,74   M P a ± 72,14   M P a

Onde novamente obtemos duas tensões, σ 1 e σ 2

σ 1 = - 70,74   M P a + 72,14   M P a = 1,6   M P a

σ 2 = - 70,74   M P - 72,14   M P a = - 143   M P a

Resposta

As tensões principais no ponto A são:

σ 1 = 150   M P a

σ 2 = - 1,52   M P a

E as tensões no ponto B são:

σ 1 = 1,6   M P a

σ 2 = - 143   M P a

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