Enunciado

(a) Usando funções de singularidade, determine a intensidade e a localização do momento fletor máximo para a viga e o carregamento mostrados. (b) Determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto B e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

- R A 4,5 + 40 4,5 2,25 + 60 2,7 + 60 ( 0,9 ) = 0

4,5 R A = 621 → R A = 138   k N

Agora podemos escrever a equação para a força cortante, já que temos todas as forças aplicadas e os pontos onde são aplicadas, só lembrando que como temos carregamento distribuído, ele possui ordem 1 na equação de singularidade para a força cortante. Sendo assim, considerando a origem no ponto A, com x = 0 , a equação para a força cortante será:

V = 138 - 40 x - 60 < x - 1,8 > 0 - 60 < x - 3,6 > 0

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ 138 - 40 x - 60 < x - 1,8 > 0 - 60 < x - 3,6 > 0 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = 138 x - 40 2 x 2 - 60 < x - 1,8 > 1 - 60 < x - 3,6 > 1 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = 138 x - 20 x 2 - 60 < x - 1,8 > 1 - 60 < x - 3,6 > 1

Passo 3

Agora para a letra (b), para encontrar a tensão normal máxima, precisamos primeiro do momento máximo. Para isso, vamos igualar a derivada da função momento (que é a própria equação da força cortante) a zero, e encontrar a localização do momento máximo. Fazendo isso, teremos:

V = 138 - 40 x - 60 < x - 1,8 > 0 - 60 < x - 3,6 > 0 = 0

Nesse caso, como estamos trabalhando com a função de singularidade, precisamos dividir a função nos intervalos para calcular separadamente o valor de máximo para cada intervalo. Então, começando pelo primeiro intervalo, em 0 < x < 1,8 teremos:

138 - 40 x - 60 ( 0 ) - 60 ( 0 ) = 0

x = 3,45   m

O valor de x encontrado está fora do intervalo de análise, dessa forma não temos um ponto de máximo nesse intervalo. Vamos agora considerar o intervalo 1,8 < x < 3,6 , onde teremos:

138 - 40 x - 60 1 - 60 0 = 0

x = 1,95   m

Opa! Achamos um valor dentro do intervalo de análise. Vamos ver agora se temos outro valor de máximo no último intervalo, em 3,6 < x < 4,5 , então teremos:

138 - 40 x - 60 1 - 60 1 = 0

x = 0,45   m

Nããão! Esse valor também não está no intervalo de análise. Então o único valor possível será:

x = 1,95   m

Essa é a localização do momento máximo. Agora para encontrar seu valor, basta substituir essa posição de x na equação que encontramos para o momento lá no passo 2. Então, fazendo isso, teremos:

M m a x = 138 ( 1,95 ) - 20 1,95 2 - 60 < 1,95 - 1,8 > 1 - 60 < 1,95 - 3,6 > 1

M m a x = 269,1 - 76,05 - 60 0,15 - 60 ( 0 ) → M m a x = 184,05   k N . m

Passo 4

Beleza! Nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

σ = M c I

No nosso caso, temos uma viga W530 X 66, então vamos ter que recorrer ao apêndice C para pegar suas propriedades. Precisamos do momento de inércia e da altura da viga, já que a distância c para obter a tensão máxima será metade da altura da viga, pois as maiores tensões estarão na extremidade. Então teremos:

I = 351 . 10 6   m m 4

h = 526   m m

Dessa forma, substituindo os valores conhecidos, nossa tensão máxima será dada por:

σ m a x = 184,05.10 3 0,526 2 351 . 10 6 . 10 - 12 → σ m a x = 137,91   M P a

Resposta

a :   V = 138 - 40 x - 60 < x - 1,8 > 0 - 60 < x - 3,6 > 0

a :   M = 138 x - 20 x 2 - 60 < x - 1,8 > 1 - 60 < x - 3,6 > 1

b :   σ m a x = 137,91   M P a

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