Enunciado

(a) Usando funções de singularidade, escreva as equações para a força cortante e o momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. (b) Determine o valor máximo do momento fletor na viga.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto E e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M E = 0

- R A 4,5 + 48 3 + 60 1,5 - 60 ( 0,9 ) = 0

4,5 R A = 180 → R A = 40   k N

Beleza! A partir do DCL que desenhamos, tomando a origem como o ponto A, é possível ver onde cada uma das forças começa a atuar, então a equação da força cortante pode ser escrita como

V = 40 - 48 < x - 1,5 > 0 - 60 < x - 3 > 0 + 60 < x - 3,6 > 0

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ 40 - 48 < x - 1,5 > 0 - 60 < x - 3 > 0 + 60 < x - 3,6 > 0 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = 40 x - 48 < x - 1,5 > 1 - 60 < x - 3 > 1 + 60 < x - 3,6 > 1 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso, como não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = 40 x - 48 < x - 1,5 > 1 - 60 < x - 3 > 1 + 60 < x - 3,6 > 1

Passo 3

Agora para a letra (b), precisamos encontrar os valores dos momentos em todos os pontos descritos da viga, para que então encontremos o momento máximo. Vamos começar pelo ponto A em x = 0 , então a equação do momento será:

M = 40 ( 0 ) - 48 < 0 - 1,5 > 1 - 60 < 0 - 3 > 1 + 60 < 0 - 3,6 > 1

M = 0   k N . m

Agora para o ponto B em x = 1,5   m teremos:

M = 40 ( 1,5 ) - 48 < 1,5 - 1,5 > 1 - 60 < 1,5 - 3 > 1 + 60 < 1,5 - 3,6 > 1

M = 60 - 48 0 - 60 0 + 60 0 → M = 60   k N . m

Agora para o ponto C em x = 3   m teremos:

M = 40 ( 3 ) - 48 < 3 - 1,5 > 1 - 60 < 3 - 3 > 1 + 60 < 3 - 3,6 > 1

M = 120 - 48 1,5 - 60 0 + 60 0 → M = 48   k N . m

Agora para o ponto D em x = 3 , 6   m teremos:

M = 40 ( 3 , 6 ) - 48 < 3 , 6 - 1,5 > 1 - 60 < 3 , 6 - 3 > 1 + 60 < 3 , 6 - 3,6 > 1

M = 144 - 48 2,1 - 60 0,6 + 60 0 → M = 7,2   k N . m

Agora para o ponto E em x = 4,5   m teremos:

M = 40 ( 4,5 ) - 48 < 4,5 - 1,5 > 1 - 60 < 4,5 - 3 > 1 + 60 < 4,5 - 3,6 > 1

M = 180 - 48 3 - 60 1,5 + 60 0,9 → M = 0   k N . m

Então, podemos ver que o momento máxima acontecerá em x = x b = 1,5   m e será:

M m a x = 60   k N

Resposta

a : V = 40 - 48 < x - 1,5 > 0 - 60 < x - 3 > 0 + 60 < x - 3,6 > 0

a :   M = 40 x - 48 < x - 1,5 > 1 - 60 < x - 3 > 1 + 60 < x - 3,6 > 1

b :   M m a x = 60   k N

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