Enunciado

Um veículo espacial encontra-se em uma órbita circular a uma altitude de 360   k m acima da Terra. Para retornar à Terra, ele diminui sua velocidade quando passa por A , acionando seu motor por um curto intervalo de tempo em sentido oposto ao de seu movimento. Sabendo que a velocidade do veículo espacial deve formar um ângulo ϕ B = 60 ° com a vertical quando ele atingir o ponto B a uma altitude de 65   k m , determine (a) a velocidade necessária para que o veículo deixe sua órbita circular em A , (b) sua velocidade no ponto B .

Passo 1

Oi, gente!! Tudo joinha?

O problema pede que determinemos a velocidade necessária para que o veículo deixe sua órbita circular em A e a velocidade dele no ponto B , sabendo que ela deve formar um ângulo ϕ B = 60 ° com a vertical. O enunciado e a figura nos fornecem as seguintes informações:

h A = 3 60   k m = 3 60 × 10 3   m

h B = 65   k m = 65 × 10 3   m

R T = 6370   k m = 6370 × 10 3   m

Em posse das altitudes dos pontos A e B e do raio da Terra, podemos calcular r A e r B :

r A = h A + R T

r A = 360 × 10 3 + 6370 × 10 3  

r A = 6 730 × 10 3   m

r B = h B + R T

r B = 65 × 10 3 + 6370 × 10 3   m

r B = 6435 × 10 3   m

Aplicando o princípio da conservação do momento angular:

r A m v A = r B m v B s e n   ϕ B

v B = r A   r B s e n   ϕ B v A = 6730 × 10 3 6435 × 10 3 1 s e n   60 ° v A

v B = 1,208 v A

Passo 2

Calculando a energia cinética e potencial.

Ponto A:

T A = 1 2 m v A 2

Aplicando agora a Eq. 13.17, usada para a energia potencial quando a variação da força da gravidade não pode ser desprezada:

V A = - G M m r A

O produto G M , pode ser expresso conforme a Eq. 12,29:

G M = g R T 2

E sendo

g = 9,81   m / s 2

R T = 6370 × 10 3   m

Substituímos os valores na equação para obtermos G M :

G M = 9,81 6370 × 10 3 2

G M = 398,1 × 10 12   m 3 / s 2

Substituindo na Eq. 13.17:

V A = - 398,1 × 10 12 m 6730 × 10 3

V A = - ( 59,153 × 10 6 ) m

Ponto B:

T B = 1 2 m v B 2

V B = - G M m r B

V B = - 398,1 × 10 12 m 6435 × 10 3

V B = - ( 61,8648 × 10 6 ) m

Passo 3

Em posse das energias cinética e potencial, vamos aplicar o princípio da conservação da energia:

T A + V A = T B + V B

1 2 m v A 2 - ( 59,153 × 10 6 ) m = 1 2 m v B 2 - 61,8648 × 10 6 m

v A 2 - v B 2 = - 5,4236 × 10 6

Sabemos que

v B = 1,208 v A

Então,

v A 2 - 1,208 v A 2 = - 5,4236 × 10 6

v A 2 - 1,459264 v A 2 = - 5,4236 × 10 6

v A 2 = 5,4236 × 10 6 0 , 459264

v A = 3436 , 47   m / s

Agora só substituir v A em

v B = 1,208 v A

v B = 1,208 ⋅ 3436,47

v B = 4151,25   m / s

Prontinho, temos as duas velocidades solicitadas!

Resposta

a )   v A = 3436,47   m / s

b )   v B = 4151,25   m / s

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