Enunciado

Determine a amplitude da vibração vertical do reboque com suspensão de molas, enquanto viaja a uma velocidade de 25   km/h sobre a estrada ondulada cujo contorno pode ser expresso por um termo de seno ou cosseno. A massa do reboque é de 500   kg e a massa das rodas isoladas pode ser desprezada. Durante o carregamento, cada 75   kg adicionados à carga fazem com que o reboque desça 3   mm sobre suas molas. Assuma que as rodas estão em contato com a estrada o tempo todo e despreze o amortecimento. A que velocidade crítica v c a vibração do reboque é máxima?

Passo 1

Um reboque oscila verticalmente ao longo de uma estrada ondulada.

Dados da questão:

  • Massa: m = 500   kg .
  • Rigidez da mola: k . (Desconhecido)
  • Velocidade: v = 25   km/h .
  • Comprimento do trajeto: L = 1,2   m .
  • Amplitude do forçamento: b = 50 / 2 = 25   mm . (Trajeto ondulado!)
  • Amplitude do movimento da base: b = 18 / 2 = 9   mm .

Queremos descobrir a amplitude do movimento de vibração do reboque ( X ) e a velocidade crítica v c que causa a máxima oscilação dele.

O sistema não tem amortecimento, mas possui rigidez (suspensão por molas). Vamos começar achando essa rigidez, a frequência natural de oscilação e a frequência do forçamento, aí podemos analisar a dinâmica em seguida para descobrir X .

Passo 2

A questão diz que uma massa de 75   kg faz as molas contraírem 3   mm . A força que as massas geram é o peso delas, então já podemos achar o valor de k ! Dica: lembre-se que as unidades do k são " N / m "

k = 75   kg ⋅ 9,81   m/s 2 0,003   m = 245,250   N/m

Com isso aí conseguimos calcular a frequência natural:

ω n = k m = 22,1   rad/s

Pronto! Essas são as características do sistema. Agora vamos ver como fica pro forçamento.

Passo 3

O reboque vai atravessar L com uma velocidade v constante, levando tempo T .

v = L / T

O período T é o tempo até o trajeto ondulatório se repetir. Ele é o inverso da frequência.

v = L ω 2 π

ω = 2 π v L = 36,36   r ad/s

Ótimo, achamos a frequência de oscilação do forçamento. Agora temos todos as características do problema. Vamos ver como fica a amplitude X da resposta.

Passo 4

Para o sistema conservativo, sabemos que a fórmula da amplitude da resposta no regime permanente nos diz que

X = b 1 - ω ω n 2

Aplicando os valores, encontramos

X = 14,75   mm

Vamos ver a tal velocidade crítica.

Passo 5

A vibração será máxima quando a frequência do forçamento for igual a frequência natural.

2 π v c L = k m

Olha que fácil! Só fazer umas contas

v c = 4,23   m/s

Resposta

Amplitude da vibração vertical: X = 14,75   mm .

Velocidade crítica: v c = 4,23   m/s .

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