Enunciado

O ventilador axial C insufla o ar através do duto de seção transversal circular e descarrega com uma velocidade v em B . As massas específicas do ar em A e B são ρ A e ρ B , respectivamente, e as pressões correspondentes são p A e p B . As pás defletoras fixas em D restauram o escoamento axial do ar após a passagem através das pás propulsoras em C . Escreva uma expressão para a força horizontal resultante R exercida sobre a unidade de ventilação pelo flange e parafusos em A .

Passo 1

Vamos lembrar da equação que dá a força resultante quando estamos falando do escoamento de um fluido:

∑ F = m ' Δ v

Onde m ' é a taxa de escoamento de massa do sistema, ou seja, é a massa de água que se desloca por unidade de tempo.

Quais são as forças que atuam sobre esse sistema? Além da força R que queremos calcular, temos as forças associadas às pressões em cada uma das saídas de área A :

∑ F = p A A - p B A + R

E colocamos p B com um sinal negativo porque sua pressão é no sentido contrário às outras duas forças. Então ficamos com o seguinte:

p A - p B A + R = m ' Δ v

Passo 2

Beleza, agora precisamos encontrar alguma expressão para a taxa m ' . Concorda que, a todo instante de tempo, a massa que entra no sistema tem que ser igual à massa que sai? Então podemos igualar as taxas nos dois extremos:

m ' = m A ' = m B '

E lembrando da fórmula para a taxa m ' temos:

m ' = ρ A A v A = ρ B A v B

E pelo que foi dado no enunciado temos v B = v , então vamos substituir essa expressão na equação que encontramos no passo 1 :

m ' = ρ B A v

Passo 3

Então vamos substituir essa expressão na equação que encontramos no passo 1 :

p A - p B A + R = ( ρ B A v ) Δ v

p A - p B A + R = ( ρ B A v ) ( v - v A )

Vamos tentar isolar a força R :

R = A ρ B v v - v A + ρ B - ρ A

E agora só precisamos substituir A e v A para ficar apenas com as variáveis que foram dadas no enunciado.

Como o duto tem seção circular:

A = π d 2 2 = π d 2 4

E usando a relação entre as taxas que escrevemos no passo 2 :

ρ A A v A = ρ B A v         ⇒         v A = ρ B ρ A v

Então:

R = π d 2 4 ρ B v v - ρ B ρ A v + ρ B - ρ A  

R = π d 2 4 ρ B v 2 1 - ρ B ρ A + ρ B - ρ A  

Agora sim, resolvido.

Resposta

A força resultante é R = π d 2 4 ρ B v 2 1 - ρ B ρ A + ρ B - ρ A .

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