Enunciado

A viga de aço de 9m está sendo levantada a partir de sua posição horizontal pelos dois cabos presos em A e B. Se as acelerações angulares iniciais dos tambores de elevação são α 1 = 0,5   r a d / s 2 e α 2 = 0,2   r a d / s 2 nos sentidos indicados, determine a aceleração angular α correspondente da viga, a aceleração de C, e a distância b desde B até um ponto P sobre a linha de centro da viga que não possui aceleração.

Passo 1

Neste exercício existem dois tambores com duas acelerações angulares diferentes. Além disso, são pedidos para encontrar 3 dados, ou seja, são 3 exercícios em 1.

Portanto, é importante definir muito bem as etapas e ordem de desenvolvimento.

Primeiramente, vamos calcular as acelerações dos pontos A e B:

a A = α 1 × r = 0,5 × 0,5 = 0,25   m / s 2

a B = α 2 × r = 0,2 × 0,5 = 0,1   m / s 2

Para calcular a aceleração angular da viga, usaremos a equação da aceleração relativa nos pontos A e B:

a A = a B + ( a A / B ) n + ( a A / B ) t

Onde:

( a A / B ) n = ω × ( ω × r ) → é a aceleração relativa normal e ela aponta para dentro de AB.

( a A / B ) t = α × r → é a aceleração relativa tangencial e ela é perpendicular à distancia AB.

Importante: O sistema parte do repouso, pois o enunciado diz que a viga inicia o movimento na horizontal. Então sua velocidade angular ω   inicial é nula e consequentemente também sua aceleração normal   ( a A / B )   n = 0 .

Passo 2

O primeiro item a ser encontrado é a aceleração angular da viga. Como já sabemos a aceleração de 2 pontos dela, podemos aplicar a equação da aceleração angular:

a A = a B + α × r

0,25   j ^ = 0,1   j ^ + α   k ^ × - 3 i ^

α = - 0,05   k ^   r a d / s 2

Encontramos nossa primeira resposta.

Passo 3

Agora, podemos aplicar a mesma equação para encontrar a aceleração do ponto C.

a A = a C + α × r A C

0,25 j ^ = a C + - 0,05 k ^ × - 6 i ^

a C = - 0,05   j ^   m / s 2  

Passo 4

Por fim, podemos calcular a distancia b por dois métodos diferentes:

- Por semelhança de triângulos ou;

- Pela equação da aceleração relativa.

Para ficar igual ao desenvolvimento dos itens acima, vamos fazer por aceleração relativa.

Mas vale a pena ver o diagrama abaixo para visualizar o problema como um todo.

Vamos lá. Como não há aceleração em P:

a B = a P + α × r B P

0,1 = 0 + - 0,05 k ^ × - b   i ^

b = 2 m

Resposta

α = - 0,05   k ^   r a d / s 2

a C = - 0,05   j ^   m / s 2

b = 2 m

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