Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação na extremidade A, (b) a inclinação na extremidade B e (c) a deflexão no ponto médio C.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, devido a simetria do carregamento, sabemos que as forças nos apoios A e B serão iguais e correspondem a metade da força exercida pelo carregamento distribuído, ou seja:

A y = B y = w L 2

Agora, também devido a simetria do carregamento, o momento exercido na viga será zero nos apoios e máximo no ponto médio C. Sabemos que teremos duas forças exercendo momento na viga, a força no apoio e o carregamento distribuído. A força no apoio exercerá um momento linear da seguinte forma:

M 1 = w L 2 x

E o carregamento distribuído por sua vez, irá exercer um momento 2 igual a:

M 2 = - w x 2 2

Agora vamos calcular os momentos no ponto C da viga, onde teremos:

M 1 = w L L 2 2 → M 1 = w L 2 4

M 2 = - w L 2 2 2 → M 2 = - w L 2 8

Passo 3

Agora podemos desenhar o diagrama M/EI para a nossa viga, só lembrando que como temos EI diferente para as seções, isso irá impactar na magnitude do gráfico, pois quanto maior EI, menor será o valor da curva M/EI para um mesmo valor de momento. Então, com os momentos que encontramos, teremos:

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = L 2 w L 2 4 E I 2 → A 1 = w L 3 16 E I

x - 1 = b 3 = L 2 3 → x - 1 = L 6

A 2 = b h 3 = L 2 - w L 2 8 E I 3 → A 2 = - w L 3 48 E I

x - 2 = b 4 = L 2 4 → x - 2 = L 8

A 3 = b h 2 = L 2 w L 2 4 ( 2 E I ) 2 → A 3 = w L 3 32 E I

x - 3 = b 3 = L 2 3 → x - 3 = L 6

A 4 = b h 3 = L 2 - w L 2 8 2 E I 3 → A 4 = - w L 3 96 E I

x - 4 = b 4 = L 2 4 → x - 4 = L 8

Passo 4

Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto A pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ A = - t B / A L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio B em relação a A é dado por:

t B / A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t A / B = w L 3 16 E I L 2 + L 6 + - w L 3 48 E I L 2 + L 8 + w L 3 32 E I L 2 - L 6 + - w L 3 96 E I L 2 - L 8

t B / A = w L 4 24 E I - 5 w L 4 384 E I + w L 4 96 E I - w L 4 256 E I

t B = 9 w L 4 256 E I

Então a inclinação em A será:

θ A = - t B / A L = - 9 w L 4 256 E I L → θ A = - 9 w L 3 256 E I

Passo 5

Agora, para encontrar a inclinação no ponto B, basta utilizar o teorema do primeiro momento de área, onde teremos:

θ B / A = θ B - θ A

Isolando a inclinação em B e substituindo os valores conhecidos, teremos:

θ B = θ B / A + θ A = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + θ A

θ B = w L 3 16 E I + - w L 3 48 E I + w L 3 32 E I + - w L 3 96 E I + - 9 w L 3 256 E I

θ B = 7 w L 3 256 E I

Estamos quase lá, falta só a C agora.

Passo 6

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t C / A = A C A x - - θ A x A C

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto C. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t C - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 - θ A x A C

Sabendo que não teremos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t C - 0 = w L 3 16 E I L 6 + - w L 3 48 E I L 8 + - 9 w L 3 256 E I L 2

t C = w L 4 96 E I - w L 4 384 E I - 9 w L 4 512 E I → t C = - 5 w L 4 512 E I

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a : θ A = - 9 w L 3 256 E I

b :   θ B = 7 w L 3 256 E I

c :   t C = - 5 w L 4 512 E I

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga e o carregamento do Problema 9.135, determine a maior deflexão para cima no vão DE.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a reação no apoio móvel.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a reação no apoio móvel.
Para a viga e o carregamento do Problema 9.138, determine a maior deflexão para cima no vão AB.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a reação em cada apoio.