Enunciado

Para a viga de madeira e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto A e (b) a deflexão no ponto C. Use E = 11,72 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto D para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↺ ∑ M D = 0

- A y 2,44 + 3,56 1,83 + 2,92 1,22 1,22 2 = 0 → A y = 3,56   k N

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < 0,61   m , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - 3,56 x = 0 → M = 3 , 56 x

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e C, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - 3,56 x + 0,61 + 3,56 x = 0

M = 3,56 x + 0,61 - 3,56 x

Passo 3

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre C e D, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto H, teremos:

+ ↺ ∑ M H = 0

M - 3,56 x + 1,22 + 3,56 x + 0,61 + 2,92 x x 2 = 0

M = 3,56 x + 1,22 - 3,56 x + 0,61 - 1,46 x 2

Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em três partes, o causado pela reação em A, que chamaremos de momento 1, o causado pela força localizada em B, que chamaremos de momento 2, e o causado pelo carregamento distribuído, que chamaremos de momento 3, então teremos:

M 1 = 3,56 x   0 < x < 2,44   m

M 2 = - 3,56 x   0,61 < x < 2,4 4   m

M 3 = - 1,46 x 2   1,22 < x < 2,4 4   m

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos nos pontos C e D para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 C = 3,56 1,22 → M 1 C = 4,342   k N . m

M 1 D = 3,56 2,4 4 → M 1 D = 8,686   k N . m

M 2 C = - 3,56 0,61 → M 2 C = - 2,172   k N . m

M 2 D = - 3,56 1,83 → M 2 D = - 6,515   k N . m

M 3 D = - 1,46 1,22 2 → M 3 D = - 2,173   k N . m

Então nosso diagrama M/EI será:

Agora vamos aproveitar e vamos calcular o valor do momento de inércia para a nossa viga, como temos uma seção retangular, teremos o seguinte momento de inércia:

I = b h 3 12 = 0,0508 0,1524 3 12 → I = 14,984.10 - 6   m 4

Então, o termo EI será:

E I = 11,72 . 10 9 14,984 . 10 - 6 → E I = 175,6.10 3   N . m 2 = 175,6   k N . m 2

Passo 5

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = 1,22 4,342 175,6 2 → A 1 = 15,08 . 10 - 3

x - 1 = b 3 = 1,22 3 → x - 1 = 0,407   m

A 1 + A 2 = b h 2 = 2,44 8 , 686 175,6 2 → A 2 = 45,267 . 10 - 3

A 3 = b h 2 = 0,61 - 2,172 175,6 2 → A 3 = - 3,772 . 10 - 3

x - 3 = b 3 = 0,61 3 → x - 3 = 0,203   m

A 3 + A 4 = b h 2 = 1,83 - 6,515 175,6 2 → A 4 = - 30,176 . 10 - 3

A 5 = b h 3 = 1,22 - 2,173 175,6 3 → A 5 = - 5,032 . 10 - 3

x - 5 = b 4 = 1,22 4 → x - 5 = 0 , 305   m

Passo 6

Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto A pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ A = - t D / A L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio D em relação a A é dado por:

t D / A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4 + A 5 x - 5

Juntando as áreas 1 e 2, 3 e 4, teremos:

t D / A = A 1 + A 2 x - 12 + A 3 + A 4 x - 34 + A 5 x - 5

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t D / A = 15,08 . 10 - 3 + 45,267 . 10 - 3 1 3 2,4 4 + - 3,772 . 10 - 3 - 30,176 . 10 - 3 1 3 1,83 + ( - 5,032 . 10 - 3 ) ( 0 , 305 )

t D / A = 49,082 . 10 - 3 - 20,708 . 10 - 3 - 1,535 . 10 - 3 → t D / A = 26,839 . 10 - 3

Então a inclinação em A será:

θ A = - t D / A L = - 26,839 . 10 - 3 2,4 4 → θ A = - 11 . 10 - 3   r a d

Passo 7

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t C / A = A C A x -

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto D. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t C - t A = A 1 x - 1 + A 3 x - 3

Sabendo que não teremos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t C - 0 = 15,08.10 - 3 0,407 + - 3,772.10 - 3 0,203

t C = 5,372 . 10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a :   θ A = - 11.10 - 3   r a d

b : t C = 5,372.10 - 3   m

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