Enunciado

Para a viga e o carregamento do Problema 9.135, determine a maior deflexão para cima no vão DE.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto E para descobrir o valor da reação no ponto D, então teremos:

+ ↺ ∑ M E = 0

- 667 0,61 + 0,1016 - D y 0,61 - 1334 0,1524 = 0 → D y = - 1111,4   N

E, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

667 - 1111,4 + E y - 1334 = 0 → E y = 1778,4   N

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < 101,6   m m , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - 667 x = 0 → M = + 667 x

Passo 3

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre D e E, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - 667 x + 0,1016 + 1111,4 x = 0

M = 667 x + 0,1016 - 1111,4 x

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre E e B, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto H, teremos:

+ ↺ ∑ M H = 0

M - 667 x + 0,7116 + 1111,4 x + 0,61 - 3112,4 x = 0

M = 667 x + 0,7116 - 1111,4 x + 0,61 + 1778,4 x

Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em três partes, o causado pela força localizada de 667 N, que chamaremos de momento 1, o causado pela reação no ponto D, que chamaremos de momento 2, e o causado pela reação de apoio em E, que chamaremos de momento 3, então teremos:

M 1 = 667 x   0 < x < 0,864   m

M 2 = - 1111,4 x 0,1016 < x < 0,864   m

M 3 = 1778,4 x   0,7116 < x < 0,864   m

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos nos pontos D e E para cada um deles, (observe que não vamos precisar da parcela entre E e B) para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 D = 667 0,1016 → M 1 D = 67,77   N . m

M 1 E = 667 0,7116 → M 1 E = 474,64   N . m

M 2 D = 0

M 2 E = - 1111,4 0,61 → M 2 E = - 677,95   N . m

M 3 E = 0

Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 5

Agora vamos precisar calcular o termo EI. Para isso, vamos começar calculando o momento de inércia para a viga, no nosso caso, como temos uma seção circular, o momento será:

I = π r 4 4 = π 0,01905 2 4 4 → I = 6,4647.10 - 9   m 4

Então o termo EI será:

E I = 200.10 9 6,4647.10 - 9 → E I = 1292,9   N . m

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = 0,1016 67,77 1292,9 2 → A 1 = 2,663.10 - 3

x - 1 = b 3 = 0,1016 3 → x - 1 = 0,03387   m

A 2 = b h 2 = 0,61 474,64 - 67,77 1292,9 2 → A 2 = 95,98.10 - 3

x - 2 = b 3 = 0,61 3 → x - 2 = 0,2033   m

A 3 = b h = 0,61 67,77 1292,9 → A 3 = 31,974.10 - 3

x - 3 = b 2 = 0,61 2 → x - 3 = 0,305   m

A 4 = b h 2 = 0,61 - 677,95 1292,9 2 → A 4 = - 159,93.10 - 3

x - 4 = b 3 = 0,61 3 → x - 4 = 0,2033   m

Passo 6

Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto A pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ D = - t E / D L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio E em relação a D é dado por:

t E / D = A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t E / D = 95,98.10 - 3 0,2033 + 31,974.10 - 3 0,305 + - 159,93.10 - 3 0,2033

t E / D = - 3,25.10 - 3

Então a inclinação em D será:

θ D = - t E / D L = - - 3,25.10 - 3 0,61 → θ D = 5,326.10 - 3   r a d

Passo 7

Agora, sabemos que a deflexão será máxima quando a inclinação for igual a zero, então vamos escrever a equação para a inclinação em um ponto K qualquer com relação ao ponto A, onde teremos:

θ K / D = θ K - θ D → θ K = θ D + θ K / D

Então, sabendo que a inclinação corresponde a área embaixo da curva M/EI, dessa forma teremos:

θ K / D = A K 2 + A K 3 + A K 4

Então, substituindo as expressões conhecidas, teremos:

θ K / D = b h 2 + b h + b h 2 = x K 667 x K - 67,77 1292,9 2 + x K 67,77 1292,9 + x K - 1111,4 x K 1292,9 2

θ K / D = 667 x K 2 - 67,77 x K 2585,8 + 67,77 x K 1292,9 - 1111,4 x K 2 2585,8

θ K / D = - 0,171862 x K 2 + 0,026208 x K

Substituindo essa expressão na equação para θ K teremos:

θ K = θ D + θ K / D → θ K = 5,326.10 - 3 - 0,171862 x K 2 + 0,026208 x K

Agora para descobrir a localização da deflexão máxima, vamos igualar essa equação a zero, e teremos:

0 = 5,326.10 - 3 - 0,171862 x K 2 + 0,026208 x K

Resolvendo essa equação por Bháskara, teremos:

x K = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 0,026208 ± 0,026208 2 - 4 - 0,171862 5,326.10 - 3 2 - 0,171862

x K 1 = - 0,11559   m

x K 2 = 0,2681   m

Então, o único valor possível será:

x K = 0,2681   m

Beleza, agora só falta encontrar a deflexão máxima, bora lá!

Passo 8

Agora, para calcular a deflexão nesse ponto, usaremos o teorema do segundo momento de área, onde teremos:

t K / D = A K D x - + θ D x D K → t K - t D = A K x - K + θ D x D K = A 2 K x - 2 K + A 3 K x - 3 K + A 4 K x - 4 K + θ D x D K

Substituindo os valores conhecidos, e sabendo que não temos deflexão no ponto A devido ao apoio, teremos:

t K - 0 = x K 667 x K - 67,77 1292,9 2 1 3 x K + x K 67,77 1292,9 x K 2 + x K - 1111,4 x K 1292,9 2 x K 3 + 5,326.10 - 3 x K

Substituindo o valor encontrado para x K e resolvendo a expressão, chegaremos em:

t K - 0 = 0,2681 667 0,2681 - 67,77 1292,9 2 1 3 . 0,2681 + 0,2681 67,77 1292,9 0,2681 2 + 0,2681 - 1111,4 0,2681 1292,9 2 0,2681 3 + 5,326.10 - 3 0,2681

t K = 1,0289 . 10 - 3 + 1,8838 . 10 - 3 - 2,7609 . 10 - 3 + 1,4279 . 10 - 3

t K = 1,5797 . 10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

t K = 1,5797.10 - 3   m

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Se os mancais exercem somente reações verticais sobre o eixo, determine a inclinação nos mancais e a deflexão máxima do eixo. EI é constante.
Para a viga de madeira e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto A e (b) a deflexão no ponto C. Use E = 11,72 GPa.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto A e (b) a deflexão no ponto D. Use E = 200 GPa.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto A e (b) a deflexão no ponto A.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto A e (b) a deflexão no ponto D.