Enunciado

A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine as equações da inclinação e da linha elástica. EI é constante

Passo 1

Vamos começar calculando as reações de apoio

∑ M A = 0 ⇒ - 3 ⋅ 5 ⋅ 2,5 + R B ⋅ 5 - 15 = 0

R B = 10.5   k N

∑ F Y = 0 ⇒ R A - 3 ⋅ 5 + R B = 0

R A = 4.5   k N

Passo 2

Agora vamos usar as equações de singularidade da tabela 12.2

Porém, tem um leve problema, a carga distribuída não vai até o fim da viga, então será preciso completar a carga por uma equivalente

Vamos então o usar o carregamento equivalente para gerar a equação de momento da viga:

M x = 4.5 < x - 0 > 1 - 3 2 < x - 0 > 2 + 10,5 < x - 5 > 1 + 3 2 < x - 5 > 2 - 15 < x - 8 > 0

Vamos simplificar a expressão. As singularidades do tipo < x - 0 > n , se tiver n ≥ 0 podem ser escritas como x n :

M x = 4,5 x - 3 2 x 2 + 10,5 < x - 5 > 1 + 3 2 < x - 5 > 2 - 15 < x - 8 > 0

Passo 3

Agora vamos integrar a equação do momento para obter a equação da inclinação:

E I ⋅ d 2 v d x 2 = M x

E I d v d x = ∫ M x d x

E I d v d x = ∫ ( 4,5 x - 3 2 x 2 + 10,5 < x - 5 > 1 + 3 2 < x - 5 > 2 - 15 < x - 8 > 0 ) d x

A equação da inclinação é:

E I d v d x = - x 3 2 + 9 x 2 4 + 21 < x - 5 > 2 4 + < x - 5 > 3 2 - 15 < x - 8 > + c 1

Passo 4

Agora vamos integrar novamente para determinar a equação da flexão:

E I ⋅ v = ∫ ( 4,5 2 x 2 - 1 2 x 3 + 10,5 2 < x - 5 > 2 + 1 2 < x - 5 > 3 - 15 < x - 8 > + c 1 )

A equação da linha elástica é:

E I ⋅ v = - x 4 8 + 3 x 3 4 + 7 < x - 5 > 3 4 + < x - 5 > 4 8 - 15 < x - 8 > 2 2 + c 1 x + c 2

Passo 5

Pela condição de contorno no pino A temos:

x A = 0

v A = 0

Aplicando esses valores na equação da linha elástica:

E I ⋅ v A = 4,5 6 x A 3 - 1 8 x A 4 + 10,5 6 < x A - 5 > 3 + 1 8 < x A - 5 > 4 - 15 2 < x A - 8 > 2 + c 1 x A + c 2

E I ⋅ 0 = 4,5 6 ⋅ 0 - 1 8 ⋅ 0 + 10,5 6 ⋅ 0 + 1 8 ⋅ 0 - 15 2 ⋅ 0 + c 1 ⋅ 0 + c 2

c 2 = 0

Passo 6

Pela condição de contorno no apoio B:

x B = 5   m

v B = 0

Aplicando esses valores na equação da linha elástica:

E I ⋅ v B = 4,5 6 x B 3 - 1 8 x B 4 + 10,5 6 < x B - 5 > 3 + 1 8 < x B - 5 > 4 - 15 2 < x B - 8 > 2 + c 1 x B

0 = 4,5 6 5 3 - 1 8 5 4 + 10,5 6 ⋅ 0 + 1 8 ⋅ 0 - 15 2 ⋅ 0 + c 1 ⋅ 5

c 1 = - 3,125   k N ⋅ m 2

Resposta

Equação da inclinação:

θ = 1 E I - x 3 2 + 9 x 2 4 + 21 < x - 5 > 2 4 + < x - 5 > 3 2 - 15 < x - 8 > - 3,125

Equação da linha elástica:

v = 1 E I - x 4 8 + 3 x 3 4 + 7 < x - 5 > 3 4 + < x - 5 > 4 8 - 15 < x - 8 > 2 2 - 3,125 x

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