Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto C e (b) a deflexão no ponto D. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto C para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

- A y 3,658 + 71,2 1,829 - 116,7 1,219 1,219 2 = 0 → A y = 11,9   k N

E, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

11,9 - 71,2 - 116,7 1,219 + C y = 0 → C y = 201,56   k N

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < 1,829   m , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - 11,9 x = 0 → M = 11,9 x

Passo 3

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e C, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - 11,9 x + 1,829 + 71,2 x = 0

M = 11,9 x + 1,829 - 71,2 x  

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre C e D, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto H, teremos:

+ ↺ ∑ M H = 0

M - 11,9 x + 3,658 + 71 , 2 x + 1,829 + 116,7 x x 2 - 201,56 x = 0

M = 11,9 x + 3,658 - 71,2 x + 1,829 - 58,35 x 2 + 201,56 x

Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em quatro partes, o causado pela força reação de apoio em A, que chamaremos de momento 1, o causado pela força localizada de 71,2 kN, que chamaremos de momento 2, e o causado pelo carregamento distribuído, que chamaremos de momento 3, e o causado pela reação de apoio em C, que será o nosso momento 4, então teremos:

M 1 = 11,9 x   0 < x < 4,877   m

M 2 = - 71 , 2 x 1,829 < x < 4,877   m

M 3 = - 58,3 5 x 2   3,658 < x < 4,877   m

M 4 = 201,56 x   3,658 < x < 4,877   m

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos nos pontos C e D para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 C = 11,9 3,658 → M 1 C = 43,53   k N . m

M 1 D = 11,9 4,877 → M 1 D = 58,04   k N . m

M 2 C = - 71,2 1,829 → M 2 C = - 130,22   k N . m

M 2 D = - 71 , 2 3,048 → M 2 D = - 217,02   k N . m

M 3 C = 0

M 3 D = - 58,3 5 1,219 2 → M 3 D = - 86,7   k N . m

M 4 C = 0

M 4 D = 201,56 1,219 → M 4 D = 245,7   k N . m

Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 5

Agora vamos precisar calcular o termo EI. Para isso, vamos começar indo lá no apêndice C para pegar o momento de inércia para a nossa viga, onde teremos:

I = 99,1.10 6   m m 4 = 99,1 . 10 - 6   m 4

Então o termo EI será:

E I = 200.10 9 99,1 . 10 - 6 → E I = 19,82.10 6   N . m 2 = 19820   k N . m 2

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = 3,658 43,53 19820 2 → A 1 = 4,017 . 10 - 3

x - 1 = b 3 = 3,658 3 → x - 1 = 1,219   m

A 2 = b h 2 = 1,219 58,04 - 43,53 19820 2 → A 2 = 0,4573 . 10 - 3

x - 2 = b 3 = 1,219 3 → x - 2 = 0 , 4063   m

A 3 = b h = 1,219 43,53 19820 → A 3 = 2,677 . 10 - 3

x - 3 = b 2 = 1,219 2 → x - 3 = 0 , 6095   m

A 4 = b h 2 = 1,219 245,7 19820 2 → A 4 = 7,556 . 10 - 3

x - 4 = b 3 = 1,219 3 → x - 4 = 0 , 4063   m

A 5 = b h 2 = 1,829 - 130,22 19820 2 → A 5 = - 6,008 . 10 - 3

x - 5 = b 3 = 1,829 3 → x - 5 = 0 , 6097   m

A 6 = b h 2 = 1,219 - 217,02 - 130,22 19820 2 → A 6 = - 2,669 . 10 - 3

x - 6 = b 3 = 1,219 3 → x - 6 = 0 , 4063   m

A 7 = b h = 1,219 - 130,22 19820 → A 7 = - 8,009 . 10 - 3

x - 7 = b 2 = 1,219 2 → x - 7 = 0,6095   m

A 8 = b h 3 = 1,219 - 86,7 19820 3 → A 8 = - 1,777 . 10 - 3

x - 8 = b 4 = 1,219 4 → x - 8 = 0 , 3048   m

Passo 6

Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto C pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ C = - t A / C L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio A em relação a C é dado por:

t A / C = A 1 x - 1 + A 5 x - 5

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t A / C = 4,017.10 - 3 1,219 + - 6,008.10 - 3 0 , 6097

t A / C = 1,234 . 10 - 3

Então a inclinação em C será:

θ C = - t A / C L = - 1,234 . 10 - 3 3,658 → θ C = - 0,337 . 10 - 3   r a d

Passo 7

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t D / C = A D C x - - θ C x C D

Em que A A B é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t D - t C = A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4 + A 6 x - 6 + A 7 x - 7 + A 8 x - 8 - θ C x C D

Sabendo que não teremos deflexão em C devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t D - 0 = 0,4573.10 - 3 1,219 - 0,4063 + 2,677.10 - 3 1,219 - 0,6095 + 7,556.10 - 3 1,219 - 0,4063 + - 2,669.10 - 3 1,219 - 0,4063 + - 8,009 . 10 - 3 1,219 - 0,6095 + - 1,777.10 - 3 1,219 - 0,3048 - - 0,337.10 - 3 1,219

t D = - 0,12 . 10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a : θ C = - 0,337.10 - 3   r a d

b : t D = - 0,12.10 - 3   m

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