Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A, (b) a deflexão no ponto B e (c) a deflexão na extremidade D.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos começar aplicando o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto D, então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

M 0 - M 0 + D y ( 2 a ) = 0 → D y = 0

Agora, aplicando o somatório de forças na direção y, conseguimos achar o valor da reação em B, que será:

+ ↑ ∑ F y = 0

B y - D y = 0 → B y = 0

Nesse caso nós conseguimos escrever direto a equação de singularidade para o momento, já que só temos os momentos localizados aplicados no sistema. Então nossa equação será:

M = - M 0 + M 0 < x - 2 a > 0

Passo 3

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - M 0 + M 0 < x - 2 a > 0

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - M 0 x + M 0 < x - 2 a > 1 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - M 0 x 2 2 + M 0 2 < x - 2 a > 2 + C 1 x + C 2

Passo 4

Beleza! Agora para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 vamos utilizar as condições de contorno que temos. No nosso caso, sabemos que a deflexão será zero nos apoios B e D, então teremos:

x = a → y = 0

x = 3 a → y = 0

Substituindo a primeira relação na equação para a deflexão, temos:

E I . 0 = - M 0 ( a ) 2 2 + M 0 2 < a - 2 a > 2 + C 1 a + C 2

0 = - M 0 a 2 2 + 0 + C 1 a + C 2 → C 2 = M 0 a 2 2 - C 1 a

Vamos deixar essa expressão guardada. Agora, substituindo a segunda condição de contorno na equação da deflexão, teremos:

E I . 0 = - M 0 ( 3 a ) 2 2 + M 0 2 < 3 a - 2 a > 2 + C 1 3 a + C 2

0 = - 9 M 0 a 2 2 + M 0 2 a 2 + 3 a C 1 + C 2

Substituindo a expressão encontrada para C 2 nessa equação, chegaremos em:

0 = - 9 M 0 a 2 2 + M 0 2 a 2 + 3 a C 1 + M 0 a 2 2 - C 1 a

2 a C 1 = 7 M 0 a 2 → C 1 = 7 M 0 a 4

Agora vamos substituir essa expressão na equação para C 2 , chegando em:

C 2 = M 0 a 2 2 - 7 M 0 a 4 ( a )

C 2 = - 5 M 0 a 2 4

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - M 0 x 2 2 + M 0 2 < x - 2 a > 2 + C 1 x + C 2

y = 1 E I - M 0 x 2 2 + M 0 2 < x - 2 a > 2 + 7 M 0 a 4 x - 5 M 0 a 2 4

Passo 5

Agora para a letra (a), vamos calcular a inclinação na extremidade A, através da equação da inclinação obtida no passo 3, onde temos:

E I . d y d x = - M 0 x + M 0 < x - 2 a > 1 + C 1

Substituindo o valor de C 1 obtido no passo 4 e fazendo x = 0 temos:

E I . d y d x x = 0 = - M 0 ( 0 ) + M 0 < 0 - 2 a > 1 + 7 M 0 a 4

d y d x x = 0 = 7 M 0 a 4 E I

Shoow! Bora pra (b) agora.

Passo 6

Agora para a letra (b), vamos calcular a deflexão no ponto B, onde temos x = a , então, substituindo esse valor na equação para a linha elástica encontrada no passo 4, teremos:

y = 1 E I - M 0 a 2 2 + M 0 2 < a - 2 a > 2 + 7 M 0 a 4 ( a ) - 5 M 0 a 2 4

y = 1 E I - M 0 a 2 2 + 0 + 7 M 0 a 2 4 - 5 M 0 a 2 4 = 1 E I - 2 M 0 a 2 + 7 M 0 a 2 - 5 M 0 a 2 4

y = 0

Shoow! Bora pra (c) agora pra fechar.

Passo 7

Agora para a letra (c), vamos calcular a deflexão no ponto D, onde temos x = 3 a , então, substituindo esse valor na equação para a linha elástica encontrada no passo 4, teremos:

y = 1 E I - M 0 3 a 2 2 + M 0 2 < 3 a - 2 a > 2 + 7 M 0 a 4 ( 3 a ) - 5 M 0 a 2 4

y = 1 E I - 9 M 0 a 2 2 + M 0 a 2 2 + 21 M 0 a 2 4 - 5 M 0 a 2 4

y = 1 E I - 18 M 0 a 2 + 2 M 0 a 2 + 21 M 0 a 2 - 5 M 0 a 2 4

y = 0

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : d y d x x = 0 = 7 M 0 a 4 E I

b :   y = 0

c :   y = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A barra rígida DEF é soldada ao ponto D da viga constituída de um perfil laminado de aço AB. Para o carregamento mostrado, determinar a) a declividade em A b) a deflexão do ponto médio C da viga. Usar
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a) a equação da linha elástica b) a deflexão no ponto médio C.
Determinar a reação de apoio em A e desenhar os diagramas de momento fletor.
Determinar a reação de apoio em A e desenhar os diagramas de momento fletor.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica para a porção B D ; (b) a declividade em B ; (c) a deflexão no centro C da viga.