Enunciado

Para o estado de tensão mostrado na figura, determine o valor de τ x y para o qual a tensão de cisalhamento máxima é (a) 60 MPa, (b) 78 MPa.

Passo 1

Oiii, e aí, vamos encarar mais um? Esse é meio grandinho, mas vamos lá que a gente consegue! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação para a tensão de cisalhamento máxima, que é dada por:

τ m a x = σ m a x - σ m i n 2

No nosso caso, como temos tensões nas direções x e y, e não temos na direção z, então vamos assumir que nossa tensão mínima será a tensão em z, ou seja, será zero (lembrando que depois temos que verificar essa suposição). Então, com isso, conseguimos encontrar o valor da tensão máxima. Com esse valor, podemos encontrar o raio do círculo de Mohr e depois a tensão de cisalhamento τ x y pedida no enunciado. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar escrevendo as tensões que nós temos no plano, dadas através do elemento diferencial da figura, que serão:

σ x = 100   M P a

σ y = 40   M P a

σ z = 0

Beleza! Com isso podemos calcular a tensão média, que será dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 100 + 40 2 → σ m e d = 70   M P a

Agora, para a letra (a), onde temos:

τ m a x = 60   M P a

Sabendo que nossa tensão mínima será a tensão em z, ou seja:

σ m i n = σ z = 0

Então, da equação para a tensão de cisalhamento máxima descrita no passo 1, teremos:

τ m a x = σ m a x - σ m i n 2

Isolando a tensão máxima e substituindo os valores conhecidos, temos:

σ m a x = 2 τ m a x - σ m i n = 2 60 - 0 → σ m a x = 120   M P a

Passo 3

Agora, com o valor da tensão máxima obtida no passo 2, podemos usar a outra fórmula para a tensão máxima, já que ela será uma das tensões principais, e é dada por:

σ m a x = σ m e d + R

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, teremos:

120 = 70 + R → R = 50   M P a

Agora, iremos verificar a nossa suposição de a tensão em z ser a tensão mínima, para isso, calculamos a tensão principal em B, que é dada por:

σ b = σ m e d - R = 70 - 50 → σ b = 20   M P a

Então, como temos σ b > σ z , σ z = 0 será de fato a tensão mínima, então a nossa suposição é válida. Beleza, agora vamos usar a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Isolando a tensão de cisalhamento dessa equação, teremos:

R 2 = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 → τ x y 2 = R 2 - σ x - σ y 2 2

τ x y = R 2 - σ x - σ y 2 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

τ x y = 50 2 - 100 - 40 2 2 → τ x y = 40   M P a

Belezaaa! Agora é só repetir os cálculos para a tensão de cisalhamento máxima dada para a letra (b), então vamos nessa!

Passo 4

Agora, para a letra (b), com:

τ m a x = 78   M P a

Sabendo que nossa tensão mínima será a tensão em z, ou seja:

σ m i n = σ z = 0

Então, da equação para a tensão de cisalhamento máxima descrita no passo 1, teremos:

τ m a x = σ m a x - σ m i n 2

Isolando a tensão máxima e substituindo os valores conhecidos, temos:

σ m a x = 2 τ m a x - σ m i n = 2 78 - 0 → σ m a x = 156   M P a

Agora, com o valor da tensão máxima obtida no passo 2, podemos usar a outra fórmula para a tensão máxima, já que ela será uma das tensões principais, e é dada por:

σ m a x = σ m e d + R

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, teremos:

156 = 70 + R → R = 86   M P a

Passo 5

Agora, iremos verificar a nossa suposição de a tensão em z ser a tensão mínima, para isso, calculamos a tensão principal em B, que é dada por:

σ b = σ m e d - R = 70 - 86 → σ b = - 16   M P a

Então, como temos σ b < σ z , então a nossa suposição não é válida. Na verdade, então a nossa tensão de cisalhamento máxima será o próprio raio do círculo de Mohr, onde teremos:

R = τ m a x = 78   M P a

Sendo assim, sabendo que a equação para o raio do círculo de Mohr é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Isolando a tensão de cisalhamento dessa equação, teremos:

R 2 = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 → τ x y 2 = R 2 - σ x - σ y 2 2

τ x y = R 2 - σ x - σ y 2 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

τ x y = 78 2 - 100 - 40 2 2 → τ x y = 72   M P a

Resposta

a :   τ x y = 40   M P a

b :   τ x y = 72   M P a

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