Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a intensidade e a localização da resultante da carga distribuida, (b) as reações de apoio da viga.

Passo 1

Bom galera, a gente vai começar encontrando logo a função que é uma parábola e temos pontos conhecidos:

f 0 = 200

f 4 = 800

E a função da parábola é dada por definição assim:

f x = k x + c

Então substituindo o ponto f 0 :

f 0 = 200 = k 0 + c

Logo:

c = 200

Agora, substituindo o ponto f ( 4 ) :

f 4 = 800 = k 4 + 200

Encontramos assim:

k = 300

Isso, foi para a gente encontrar a função da nossa parábola:

f x = 300 x + 200

Nem foi tão difícil assim não vai!

Passo 2

Show de bola, agora se a gente simplesmente integrar, a gente encontra a intensidade resultante, que é:

F R = ∫ 0 4 300 x + 200 d x

Essa integral, vai resultar em:

F R = 2400   N

Passo 3

Agora, a localização da força é bem no centroide, que no caso vamos precisar apenas de x - .

x - = x - A A → x - = ∫ x d A ∫ d A

Bora pras integrais então:

∫ x d A = ∫ 0 4 x ⋅ 300 x + 200 d x = 5440

∫ d A = ∫ 0 4 300 x + 200 d x = 2400

Aplicando na fórmula, temos:

x - = ∫ x d A ∫ d A = 5440 2400 = 2,267   m

Passo 4

Por fim, as reações de apoio, que a gente consegue usando a equação de equilíbrio com momentos, primeiro a gente considera A o eixo de rotação, então fica assim:

∑ M A = 0

F R ⋅ x - - F B ⋅ 4 = 0

→ 2400 ⋅ 2,267 = 4 F B

→ F B = 2400 ⋅ 2,267 4 = 1360,2   N

Agora, o mesmo em M B :

∑ M B = 0

F R ⋅ ( 4 - x - ) - F A ⋅ 4 = 0

→ 2400 ⋅ ( 4 - 2,267 ) = 4 F A

→ F A = 2400 ⋅ 1,733 4 = 1039,8   N

Resposta

F R = 2400   N

x - = 2,267   m

F A = 1039,8   N

F B = 1360,2   N

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