Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados, e usando um computador e funções degrau, (a) organize uma tabela de força cortante, momento fletor e tensão normal máxima em seções da viga de x = 0 a x = L , usando os incrementos Δ L indicados e (b) usando incrementos menores, se necessário, determine com 2% de precisão a tensão normal máxima na viga. Coloque a origem do eixo x na extremidade A da viga.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Observe que o enunciado fornece dois carregamentos com alturas diferentes, mas com valores iguais, o que não faz sentido né?! Na verdade, o valor do primeiro carregamento é de 70,1 kN/m, segundo a edição com as unidades americanas. Então, com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto D e com isso encontrar a reação no ponto B. Então teremos:

+ ↺ ∑ M D = 0

70,1 1,524 3,048 + 0,762 - R B 3,81 + 46,7 3,048 3,048 2 = 0

3,81 R B = 623,96 → R B = 163,7   k N

Agora, lembrando que, como temos carregamento distribuído que não vai até o final da viga, devemos adicionar um outro carregamento, de mesma intensidade, mas sentido oposto, da posição em que o carregamento atual termina, até o final da viga. Além de prolongar o carregamento existente até o final da viga também, sempre deixando o carregamento equivalente ao carregamento original. Sendo assim, o carregamento equivalente será:

Agora podemos escrever o carregamento distribuído, considerando o ponto A como origem do nosso sistema, teremos:

w = 70,1 - 70,1 - 46,7 < x - 1,524 > 0

w = 70,1 - 23,4 < x - 1,524 > 0

Passo 2

Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:

V = - ∫ w d x

Substituindo a expressão para w e resolvendo a integral, chegamos em:

V = - ∫ 70,1 - 23,4 < x - 1,524 > 0 d x

V = - 70,1 x + 23,4 < x - 1,524 > 1 + C

A constante de integração nesse caso corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, no nosso caso, temos a força de apoio R B em B, então nossa constante será:

C = R B < x - 0,762 > 0 → C = 163,7 < x - 0,762 > 0

Então, nossa equação para a força cortante será:

V = - 70,1 x + 23,4 < x - 1,524 > 1 + 163,7 < x - 0,762 > 0

Passo 3

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ - 70,1 x + 23,4 < x - 1,524 > 1 + 163,7 < x - 0,762 > 0 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = - 70,1 2 x 2 + 23,4 2 < x - 1,524 > 2 + 163,7 < x - 0,762 > 1 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = - 35,05 x 2 + 11,7 < x - 1,524 > 2 + 163,7 < x - 0,762 > 1

Passo 4

Beleza! Nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

σ = M c I

No nosso caso, temos uma viga W310 X 44,5. Então devemos ir lá apêndice C pegar as suas propriedades, vamos precisar do momento de inércia e da altura total da viga, então teremos

I = 99,1.10 6   m m 4 = 99,1.10 - 6   m 4

h = 312   m m = 0,312   m

Sabemos que a distância c para obter a tensão máxima será metade da altura da viga, pois as maiores tensões estarão na extremidade. Então teremos:

c = h 2 = 0,312 2 → c = 0,156   m

Dessa forma, substituindo os valores conhecidos, nossa tensão máxima será dada por:

σ m a x = M 0,156 99,1.10 - 6 → σ m a x = 1574,17 M

Então, agora temos todas as equações que precisamos, de força cortante, momento fletor e da tensão máxima. Agora, com o auxílio do computador, calculando o valor da força cortante e do momento fletor em cada um dos pontos, começando de x = 0   m com incremento de Δ L = 381   m m , e calculando também a tensão máxima em cada um desses pontos, teremos a seguinte tabela de valores:

Opa! A letra (a) acabou aqui! Bora pra letra (b) agora!

Passo 5

Agora, para a letra (b), devemos encontrar a tensão normal máxima da viga, com uma precisão de 2%. Para isso, primeiro vamos olhar a tabela que valores que encontramos no passo 4. Lá podemos ver que o maior valor de tensão encontrado foi de:

σ m a x = 122,72   M P a

E na posição:

x = 2,667   m

Podemos ver que antes desse ponto, tínhamos:

x = 2,286   m → σ m a x = 115,25   M P a

E após, temos:

x = 3,048   m → σ m a x = 119,52   M P a

Podemos ver na tabela que nesses 3 valores, temos a tensão de cisalhamento mudando de sinal entre x = 2,667   m e x = 3,048   m . E nós sabemos que quando temos cisalhamento igual a zero, isso implica em um ponto máximo de momento, pois a equação do cisalhamento é a derivada do momento. Dessa forma, sabemos que o valor máximo está entre esse intervalo de comprimento, então, calculando os valores de tensão dentro desse intervalo, chegamos numa tensão máxima de:

σ m a x = 123,87   M P a

Resposta

b :   σ m a x = 123,87   M P a

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