Enunciado

Sabendo que, para a viga extrudada mostrada na figura, a tensão admissível é de 120 M P a em tração e de 150   M P a em compressão, determine o maior momento fletor M que lhe pode ser aplicado.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar os máximos momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ a d m = - M y I

Como não temos a LN da nossa barra, precisamos determinar ela. Isso é de suma importância para podermos fazer toda a conta, por isso precisamos seguir um passo a passo para determinar a LN.

Para isso precisamos dividir a nossa seção em seções mais simples e determinar a distância do centroide de cada seção até a base da peça total, assim, temos que:

Agora para termos a linha neutra basta fazermos o seguinte:

y - = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3 A 1 + A 2 + A 3

Assim temos que:

A 1 = 20 × 54 2 = 540   m m 2

A 2 = 40 × 54 = 2160   m m 2

A 3 = 20 × 54 2 = 540   m m 2

y 1 = 36   m m

y 2 = 27   m m

y 3 = 36   m m

y - = 540 × 36 + 2160 × 27 + 540 × 36 540 + 2160 + 540 = 30   m m

Assim a nossa LN é:

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + ( I 3 + A 3 d 3 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1 , I 2     e   I 3 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples. E d 1 , d 2   e   d 3 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN, assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

I 2 = b h 3 12 = 40 × 54 3 12 = 524880   m m 4

I 1 = I 3 = b h 3 36 = 2 0 × 54 3 36 = 87480 m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = 87480 + 540 × 6 2 + 524880 + 2160 × 3 2 + ( 87480 + 540 × 6 2 )

I = 758160   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

O valor de y é a distância da LN para as extremidades, assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Como nosso objetivo é determinar o momento fletor, vamos precisar analisar cada situação, assim começando pela tração, vamos ter que:

y + = 24   m m

I = 758160   m m 4

σ t r a ç ã o = 120   M P a = 120 N m m 2

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

120   N m m 2 = - M × 24 [ m m ] 758160   [ m m 4 ]

M = - 3790800   N m m = - 3,79   k N m

E analisando agora a compressão teremos que:

y - = - 30   m m

I = 758160     m m 4

σ c o m p r e s s ã o = - 150   M P a = - 150 N m m 2

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

- 150 N m m 2 = - M × - 30 [ m m ] 758160     [ m m 4 ]

M = - 3790800   N m m = - 3,79   K N m

Como queremos que a estrutura sustente a ação que age nele, devemos escolher o menor momento, que garante a segurança no ponto que ele age, assim como o do que suporta mais momento. Assim teremos que:

M = - 3,79   K N m

Resposta

M = - 3,79   K N m

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