Enunciado

Um tubo de aço com diâmetro externo de 12 in. é fabricado a partir de uma chapa de espessura igual a 1/4 in. soldada ao longo de uma hélice que forma com o plano perpendicular ao eixo do tubo um ângulo de 22,5°. Sabendo que uma força axial P de 40 kip e um torque T de 80 kip.in., direcionados cada um como mostrado, são aplicados ao tubo, determine as tensões de cisalhamento normal e no plano, respectivamente, normal e tangencial à solda.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos precisar analisar um elemento diferencial rotacionado de 22,5° com relação a orientação mostrada. Só que antes disso, precisamos do elemento e suas tensões na condição normal. E para isso, vamos utilizar as equações para a tensão normal e para a tensão de cisalhamento gerada por torção. Depois é só aplicar as fórmulas para as rotações de um ângulo de 22,5°. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar escrevendo as equações para a tensão normal e para a tensão de cisalhamento gerada por torção, então temos:

σ = - P A

τ = T c J

Em que A é a área da seção transversal, c é a distância do centro até a superfície e J é o momento polar de inércia. Então vamos começar encontrando o raio interno do tubo, que será dado por:

r 1 = r 2 - t = 6 - 1 4 → r 1 = 5,75   i n

Com isso, podemos agora calcular a área da seção transversal, onde teremos:

A = π r 2 2 - r 1 2 = π 6 2 - 5,75 2 → A = 9,228   i n 2

Agora vamos calcular o momento polar de inércia, para uma seção circular vazada, ele é dado por:

J = π 2 r 2 4 - r 1 4 = π 2 6 4 - 5,75 4 → J = 318,67   i n 4

Então agora podemos calcular as tensões para o elemento sem rotação, que serão então:

σ = - P A = - 40 9,228 → σ = - 4,335   k s i

τ = T c J = 80 6 318,67 → τ = 1,506   k s i

Então, pela orientação das forças aplicadas ao sistema, podemos ver que não teremos tensão na direção x, então nossas tensões serão:

σ x = 0 ;           σ y = - 4,335   k s i ;           τ x y = 1,506   k s i

Passo 3

Agora, para encontrar as tensões normal e de cisalhamento normal e tangencial a solda, precisamos rotacionar o elemento diferencial em questão de 22,5°. Para isso, iremos contar com a ajuda das equações de transformação de tensão para uma rotação θ , dadas por:

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y s e n   2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 s e n   2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Então, no nosso caso, com θ = 22,5 ° , ou seja, 2 θ = 45 ° , e substituindo os valores de tensão encontrados no passo 2, teremos:

σ y ' = 0 + - 4,335 2 - 0 - - 4,335 2 cos ⁡ 45 ° - 1,506 s e n   45 °

σ y ' = - 4,76   k s i

τ x ' y ' = - 0 - - 4,335 2 s e n   45 ° + 1,506 cos ⁡ 45 °

τ x ' y ' = - 0,47   k s i

Shooow! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

σ y ' = - 4,76   k s i

τ x ' y ' = - 0,47   k s i

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