Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados, e usando um computador e funções degrau, (a) organize uma tabela de força cortante, momento fletor e tensão normal máxima em seções da viga de x = 0 a x = L , usando os incrementos Δ L indicados e (b) usando incrementos menores, se necessário, determine com 2% de precisão a tensão normal máxima na viga. Coloque a origem do eixo x na extremidade A da viga.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto D e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M D = 0

- R A 1,524 + 29,2 0,4572 1,0668 + 0,4572 2 + 17,5 0,6096 0,4572 + 0,6092 2 + 1,3 0,4572 = 0

1,524 R A = 26,01 → R A = 17,08   k N

Agora, lembrando que, como temos carregamento distribuído que não vai até o final da viga, devemos adicionar um outro carregamento, de mesma intensidade, mas sentido oposto, da posição em que o carregamento atual termina, até o final da viga. Além de prolongar o carregamento existente até o final da viga também, sempre deixando o carregamento equivalente ao carregamento original. Sendo assim, o carregamento equivalente será:

Agora podemos escrever o carregamento distribuído, considerando o ponto A como origem do nosso sistema, teremos:

w = 29,2 - 29,2 - 17,5 < x - 0,4572 > 0 - 17,5 < x - 1,0668 > 0

w = 29,2 - 11,7 < x - 0,4572 > 0 - 17,5 < x - 1,0668 > 0

Passo 2

Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:

V = - ∫ w d x

Substituindo a expressão para w e resolvendo a integral, chegamos em:

V = - ∫ 29,2 - 11,7 < x - 0,4572 > 0 - 17,5 < x - 1,0668 > 0 d x

V = - 29,2 x + 11,7 < x - 0,4572 > 1 + 17,5 < x - 1,0668 > 1 + C

A constante de integração nesse caso corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, no nosso caso, temos a força de apoio R A em A e a força de 1,3 kN aplicada sobre o ponto C, então nossa constante será:

C = R A - 1,3 < x - 1,0668 > 0 → C = 17,08 - 1,3 < x - 1,0668 > 0

Então, nossa equação para a força cortante será:

V = - 29,2 x + 11,7 < x - 0,4572 > 1 + 17,5 < x - 1,0668 > 1 + 17,08 - 1,3 < x - 1,0668 > 0

Passo 3

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ - 29,2 x + 11,7 < x - 0,4572 > 1 + 17,5 < x - 1,0668 > 1 + 17,08 - 1,3 < x - 1,0668 > 0 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = - 29,2 2 x 2 + 11,7 2 < x - 0,4572 > 2 + 17,5 2 < x - 1,0668 > 2 + 17,08 x - 1,3 < x - 1,0668 > 1 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = - 14,6 x 2 + 5,85 < x - 0,4572 > 2 + 8,75 < x - 1,0668 > 2 + 17,08 x - 1,3 < x - 1,0668 > 1

Passo 4

Beleza! Nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

σ = M c I

No nosso caso, temos uma viga com seção transversal retangular, sabemos que para essa geometria o momento de inércia é dado por:

I = b h 3 12

Substituindo os valores conhecidos, temos:

I = 0,0508 0,3048 3 12 → 119,875.10 - 6   m 4

Sabemos que a distância c para obter a tensão máxima será metade da altura da viga, pois as maiores tensões estarão na extremidade. Então teremos:

c = h 2 = 0,3048 2 → c = 0,1524   m

Dessa forma, substituindo os valores conhecidos, nossa tensão máxima será dada por:

σ m a x = M 0,1524 119,875.10 - 6 → σ m a x = 1271,32 M

Então, agora temos todas as equações que precisamos, de força cortante, momento fletor e da tensão máxima. Agora, com o auxílio do computador, calculando o valor da força cortante e do momento fletor em cada um dos pontos, começando de x = 0   m com incremento de Δ L = 76,2   m m , e calculando também a tensão máxima em cada um desses pontos, teremos a seguinte tabela de valores:

Opa! A letra (a) acabou aqui! Bora pra letra (b) agora!

Passo 5

Agora, para a letra (b), devemos encontrar a tensão normal máxima da viga, com uma precisão de 2%. Para isso, primeiro vamos olhar a tabela que valores que encontramos no passo 4. Lá podemos ver que o maior valor de tensão encontrado foi de:

σ m a x = 6,56   M P a

E na posição:

x = 0,6858   m

Podemos ver que antes desse ponto, tínhamos:

x = 0,6096   m → σ m a x = 6,52   M P a

E após, temos:

x = 0,762   m → σ m a x = 6,46   M P a

Podemos ver na tabela que nesses 3 valores, temos a tensão de cisalhamento mudando de sinal entre x = 0,6096   m e x = 0,6858   m . E nós sabemos que quando temos cisalhamento igual a zero, isso implica em um ponto máximo de momento, pois a equação do cisalhamento é a derivada do momento. Dessa forma, sabemos que o valor máximo está entre esse intervalo de comprimento, então, calculando os valores de tensão dentro desse intervalo, chegamos numa tensão máxima de:

σ m a x = 6,56   M P a

Que é o próprio valor que temos em x = 0,6858   m . Então, nossa aproximação anterior já era válida.

Resposta

b :   σ m a x = 6,56   M P a

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Sabendo que, para a viga mostrada na figura a tensão admissível é de 82,7M P a em tração e de 110,3M p a em compressão, determine o maior momento fletor M que lhe pode ser aplicado.
Sabendo que, para a viga extrudada mostrada na figura, a tensão admissível é de 120 M P a em tração e de 150M P a em compressão, determine o maior momento fletor M que lhe pode ser aplicado.
Resolva o P r o b l e m a4.16 considerando que d = 40 m m .
Um tubo de parede grossa é flexionado, em torno de um eixo horizontal, por um momento M . O tubo pode ser projetado com ou sem as quatro aletas. Pede-se:Utilizando uma tensão admissível de 20 k s i ,
Para a barra e o carregamento da aplicação de conceito 4.1, determine:P raio de curvatura ρ ; O raio de curvatura ρ ' num plano transversal;O ângulo entre os lados originalmente verticais da barra. Us