Enunciado

A viga A B , de comprimento L e seção transversaç quadrada de lado a , é apoiada por um pivô em C e carregada conforme mostra a figura. ( a ) Verifique se a viga está em equilíbrio. ( b ) Mostre que a tensão máxima provocada pelo momento fletor ocorre em C e é igual a w 0 L 2 / 1,5 a 3 .

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo certo? Bora zerar esse livro.

Primeiro, como temos uma carga triangular, temos que encontrar seu centroid e a carga concentrada. Elas são, respectivamente:

x = 2 L 3

W = 1 2 w 0 L

Em seguida, pelas equações de equilíbrio, vamos determinar a reação em C , temos:

∑ F y = 0 F C - W = 0 F C = 1 2 w 0 L

E também:

∑ M C = 0 0 = 0

A viga está em equilíbrio.

Passo 2

Agora, vamos determinar o carregamento no trecho A C da viga:

w = - w 0 x L

O próximo passo é integrar a função para o carregamento a fim de obtermos a equação para força cortante. Fica assim:

V = - ∫ w d x V = - ∫ - w 0 x L   d x V = - w 0 x 2 2 L + C 1

Pelas condições de contorno, temos que em x = 0 :

V = 0 → C 1 = 0

Essa é a equação para a força cortante. Bora para a equação do momento fletor. Para a encontrarmos precisamos integrar a equação de força cortante, temos:

M = ∫ V d x M = ∫ - w 0 x 2 2 L d x M = - w 0 x 3 6 L + C 2

Pelas condições de contorno, temos que em x = 0 .

M + 0 → C 2 = 0

Passo 3

Agora que encontramos a equação para o momento fletor, podemos encontrar o momento fletor máximo, sabemos que ele ocorre em x = 2 3 L , portanto, substituindo na equação que a gente achou, temos:

M C = - w 0 x 3 6 L

M C = - w 0 2 3 L 3 6 L M C = 4 w 0 L 2 81

Com isso, sabemos que a tensão máxima pode ser encontrada a partir da seguinte fórmuloa:

σ m á x = M m á x c I

Precisamos encontrar o momento de inercia. Para esta seção, temos:

I = 1 12 a 4

E a linha neutra é dada por:

c = 1 2 a

E então, com os dados encontrados, vamos determinar a tensão:

σ m á x = 4 w 0 L 2 81 1 2 a   1 12 a 4 σ m á x = w 0 L 2 1,5 a 3

Opa, é isso, pessoal.

Resposta

A viga está em equilíbrio

σ m á x = w 0 L 2 1,5 a 3

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