Enunciado

Encontre a intensidade da componente da força projetada ao longo do tubo.

Passo 1

Falaa, aí! Queremos projetar a força F = 400   N no tubo e achar sua intensidade (seu módulo). Falou de projetar, cê lembra logo de produto escalar!

Como aqui a gente está em 3D, fica mais tranquilo usarmos formulação de vetor cartesiano, tá bem?

Então, a gente precisa escrever a força como um vetor e o eixo que passa pelo tubo como vetor e fazer o produto escalar entre eles.

Vem ver como fica!

Passo 2

Da figura do enunciado, vamos tirar as componentes da força. Primeiro, vamos achar um vetor unitário no sentido da nossa força. Como a gente faz isso?

Repara que ela está na direção do cabo que sai de A e vai para B . Um vetor nesse sentido seria

v → = B - A

Aí a gente acha as coordenadas desses pontos pela figura:

A = 0,4 , 6

B = 4,5 , 0

E calcula o vetor:

v → = 4,5 , 0 - 0,4 , 6 = 4,1 , - 6

Mas lembra, a gente quer o vetor unitário, então, vamos dividir esse vetor que a gente achou pelo módulo dele:

u → = v → v → = 4 , - 1 , - 6 4 2 + 1 2 + 6 2 = 4 53 , 1 53 , - 6 53

Aí para achar o vetor da força de 400   N nessa direção é só a gente multiplicar esse vetor unitário que está na direção e sentido da nossa força pelo módulo da força:

F → = 400 4 53 , - 1 53 , - 6 53 = 1600 53 , 400 53 , - 2400 53

Achamos um vetor!

Passo 3

Falta achar o vetor na direção do tubo. Ele precisa ser unitário também. Vamos fazer o mesmo procedimento par achar o vetor unitário na direção de F → .

Pela figura, um vetor na direção do tubo sai de A e vai para O . Então ele pode ser escrito como:

w → = A - O

As coordenadas desses pontos são

A = 0,4 , 6

B = 0 , 0 , 0

w → = 0,4 , 6 - 0,0 , 0 = 0,4 , 6

Achando o vetor unitário:

r → = w → w → = 0,4 , 6 0 2 + 4 2 + 6 2 = 0,4 , 6 52 = 0 , 4 52 , 6 52

Passo 4

Agora que a gente tem o vetor da força e o vetor unitário na direção do tubo, a gente acha a intensidade da força projetada no tubo fazendo o produto escalar entre esses vetores:

F → ⋅ r → = 1600 53 , 400 53 , - 2400 53 ⋅ 0 , 4 52 , 6 52 =

= 1600 53 0 + 400 53 4 52 - 2400 53 6 52 =

= - 244   N

Então, a gente pode dizer que a intensidade(módulo) da força projetada é 244   N .

Resposta

244   N

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