Enunciado

Uma balança é construída usando a massa de 10 k g , o prato P de 2 k g e a montagem da polia e da corda conforme figura. A corda B C A tem 2 m de comprimento. Se s = 0,75 m , determine a massa de D no prato. Despreze a dimensão da polia.

Passo 1

Falaa, querido!

Para determinar a massa de D, deve-se fazer o equilíbrio de forças no sistema. Assim, o diagrama de corpo livre deve ser analisado, aplicando as equações de equilíbrio ao longo dos eixos.

Tem-se que a massa pendurada pela corda na extremidade direita exerce uma força peso de

P m = 10 9,81 = 98,1   N

Ao final, sabe-se que o prato juntamente com a massa D exercem uma força que vale:

P p = m D + m p 98,1 = 2 + m D 98,1

A gente quer saber quanto vale m D . Bora!

Passo 2

Perce que T é a força no cabo que suporta o peso da massa de 10 k g . Pelo equilíbrio, a tensão nas duas extremidades desse cabo devem ser iguais, logo

T = P m = 10 9,81 N

Aí a gente pode achar P p pelo equilíbrio de forças no ponto B.

Passo 3

Mas calma, a gente vai precisar decompor essas forças inclinadas nos eixos coordenados. Para isso precisamos descobrir os valores dos ângulos que elas fazem com a horizontal.

O segmento A B é a hipotenusa de um triângulo que contém ϕ . Podemos esboça-lo assim:

Aí a gente pode acha seu valor por trigonometria. Lembrando que s = 0,75 .

s e n   ϕ = s 1.5

ϕ = a r c s e n 0,75 1,5 = 30 °

Vamos achar d também porque vai ajudar no outro ângulo:

1.5 2 = d 2 + 0,75 2

d ≈ 1,3   m

Aí a gente pode olhar para o triângulo retângulo que contém BC e θ :

t g   θ = s 1,5 - d

t g   θ = 0,75 0,2

θ = a r c t g 0,75 0,2 = 75,07 °

Passo 4

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0

Adotando o sentido dos eixos mostrado no desenho do enunciado:

∑ F x = 0

98,1 cos ⁡ θ - F A cos ⁡ ϕ = 0   ( 1 )

∑ F y = 0

98,1 s e n θ + F A s e n ϕ - m 98,1 = 0   ( 2 )

Passo 5

Por fim, com os ângulos determinados e as equações (1) e (2), consegue-se obter:

F A = 98,1 cos ⁡ 75,07 ° cos ⁡ 30 °

F A = 29,18   N

E:

m = 98,1 s e n θ + F A s e n ϕ 9,81 = 98,1 s e n 75,07 ° + 29,18 s e n 30 ° 9,81

m = 11,15   k g

Portanto,

m D = m - m p r a t o = 11,15 - 2

m D = 9,15   k g

Resposta

m D = 9,15   k g

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